Математический анализ Примеры

3 y'' + y = 0

$3 y'' + y = 0$ ,

y = sin (k x)

$y = \sin (k x)$

Этап 1

Найдем

y'

$y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (sin (k x))

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (k x))$

Этап 1.2

Производная

y

$y$ по

x

$x$ равна

y'

$y'$ .

y'

$y'$

Этап 1.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ , где

f (x) = sin (x)

$f (x) = \sin (x)$ и

g (x) = k x

$g (x) = k x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим

u

$u$ как

k x

$k x$ .

\frac{d}{d u} [sin (u)] \frac{d}{d x} [k x]

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [k x]$

Этап 1.3.1.2

Производная

sin (u)

$\sin (u)$ по

u

$u$ равна

cos (u)

$\cos (u)$ .

cos (u) \frac{d}{d x} [k x]

$\cos (u) \frac{d}{d x} [k x]$

Этап 1.3.1.3

Заменим все вхождения

u

$u$ на

k x

$k x$ .

cos (k x) \frac{d}{d x} [k x]

$\cos (k x) \frac{d}{d x} [k x]$

cos (k x) \frac{d}{d x} [k x]

$\cos (k x) \frac{d}{d x} [k x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Поскольку

k

$k$ является константой относительно

x

$x$ , производная

k x

$k x$ по

x

$x$ равна

k \frac{d}{d x} [x]

$k \frac{d}{d x} [x]$ .

cos (k x) (k \frac{d}{d x} [x])

$\cos (k x) (k \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

cos (k x) (k \cdot 1)

$\cos (k x) (k \cdot 1)$

Этап 1.3.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.3.1

Умножим

k

$k$ на

1

$1$ .

cos (k x) k

$\cos (k x) k$

Этап 1.3.2.3.2

Изменим порядок множителей в

cos (k x) k

$\cos (k x) k$ .

k cos (k x)

$k \cos (k x)$

k cos (k x)

$k \cos (k x)$

k cos (k x)

$k \cos (k x)$

k cos (k x)

$k \cos (k x)$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

y' = k cos (k x)

$y' = k \cos (k x)$

y' = k cos (k x)

$y' = k \cos (k x)$

Этап 2

Найдем

y''

$y''$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим производную.

y'' = \frac{d}{d x} [k cos (k x)]

$y'' = \frac{d}{d x} [k \cos (k x)]$

Этап 2.2

Поскольку

k

$k$ является константой относительно

x

$x$ , производная

k cos (k x)

$k \cos (k x)$ по

x

$x$ равна

k \frac{d}{d x} [cos (k x)]

$k \frac{d}{d x} [\cos (k x)]$ .

y'' = k \frac{d}{d x} [cos (k x)]

$y'' = k \frac{d}{d x} [\cos (k x)]$

Этап 2.3

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ , где

f (x) = cos (x)

$f (x) = \cos (x)$ и

g (x) = k x

$g (x) = k x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим

u

$u$ как

k x

$k x$ .

y'' = k (\frac{d}{d u} [cos (u)] \frac{d}{d x} [k x])

$y'' = k (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [k x])$

Этап 2.3.2

Производная

cos (u)

$\cos (u)$ по

u

$u$ равна

- sin (u)

$- \sin (u)$ .

y'' = k (- sin (u) \frac{d}{d x} [k x])

$y'' = k (- \sin (u) \frac{d}{d x} [k x])$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения

u

$u$ на

k x

$k x$ .

y'' = k (- sin (k x) \frac{d}{d x} [k x])

$y'' = k (- \sin (k x) \frac{d}{d x} [k x])$

y'' = k (- sin (k x) \frac{d}{d x} [k x])

$y'' = k (- \sin (k x) \frac{d}{d x} [k x])$

Этап 2.4

Поскольку

k

$k$ является константой относительно

x

$x$ , производная

k x

$k x$ по

x

$x$ равна

k \frac{d}{d x} [x]

$k \frac{d}{d x} [x]$ .

y'' = k (- sin (k x) (k \frac{d}{d x} [x]))

$y'' = k (- \sin (k x) (k \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.5

Возведем

k

$k$ в степень

1

$1$ .

y'' = k^{1} k (- sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))

$y'' = k^{1} k (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.6

Возведем

k

$k$ в степень

1

$1$ .

y'' = k^{1} k^{1} (- sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))

$y'' = k^{1} k^{1} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.7

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

y'' = k^{1 + 1} (- sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))

$y'' = k^{1 + 1} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.8

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

y'' = k^{2} (- sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))

$y'' = k^{2} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

y'' = k^{2} (- sin (k x) \cdot 1)

$y'' = k^{2} (- \sin (k x) \cdot 1)$

Этап 2.10

Умножим

- 1

$- 1$ на

1

$1$ .

y'' = k^{2} (- sin (k x))

$y'' = k^{2} (- \sin (k x))$

Этап 2.11

Изменим порядок множителей в

k^{2} (- sin (k x))

$k^{2} (- \sin (k x))$ .

y'' = - k^{2} sin (k x)

$y'' = - k^{2} \sin (k x)$

y'' = - k^{2} sin (k x)

$y'' = - k^{2} \sin (k x)$

Этап 3

Подставим в заданное дифференциальное уравнение.

3 (- k^{2} sin (k x)) + y = 0

$3 (- k^{2} \sin (k x)) + y = 0$

Этап 4

Подставим

y

$y$ вместо

sin (k x)

$\sin (k x)$ .

3 (- k^{2} y) + y = 0

$3 (- k^{2} y) + y = 0$

Этап 5

Решим относительно

k

$k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

3

$3$ .

- 3 k^{2} y + y = 0

$- 3 k^{2} y + y = 0$

Этап 5.2

Вычтем

y

$y$ из обеих частей уравнения.

- 3 k^{2} y = - y

$- 3 k^{2} y = - y$

Этап 5.3

Разделим каждый член

- 3 k^{2} y = - y

$- 3 k^{2} y = - y$ на

- 3 y

$- 3 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член

- 3 k^{2} y = - y

$- 3 k^{2} y = - y$ на

- 3 y

$- 3 y$ .

\frac{- 3 k^{2} y}{- 3 y} = \frac{- y}{- 3 y}

$\frac{- 3 k^{2} y}{- 3 y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель

- 3

$- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 k^{2} y}{- 3 y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{k^{2} y}{y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{k^{2} y}{y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим

$k^{2}$ на

$1$ .

$k^{2} = \frac{- y}{- 3 y}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$k^{2} = \frac{- y}{- 3 y}$

Этап 5.3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$k^{2} = \frac{- 1}{- 3}$

Этап 5.3.3.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$k^{2} = \frac{1}{3}$

Этап 5.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$k = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Этап 5.5

Упростим

$\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем

$\sqrt{\frac{1}{3}}$ в виде

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.5.2

Любой корень из

$1$ равен

$1$ .

$k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 5.5.3

Умножим

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ на

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Умножим

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ на

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 5.5.4.2

Возведем

$\sqrt{3}$ в степень

$1$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 5.5.4.3

Возведем

$\sqrt{3}$ в степень

$1$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 5.5.4.4

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 5.5.4.5

Добавим

$1$ и

$1$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 5.5.4.6

Перепишем

${\sqrt{3}}^{2}$ в виде

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.6.1

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt{3}$ в виде

$3^{\frac{1}{2}}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.5.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.5.4.6.3

Объединим

$\frac{1}{2}$ и

$2$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.5.4.6.4

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.5.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 5.5.4.6.5

Найдем экспоненту.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 5.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Сначала с помощью положительного значения

$\pm$ найдем первое решение.

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 5.6.2

Затем, используя отрицательное значение

$\pm$ , найдем второе решение.

$k = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 5.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Десятичная форма:

$k = 0.57735026 \dots, - 0.57735026 \dots$

Введите СВОЮ задачу