Математический анализ Примеры

$4 y'' = y$ , $y = e^{r x}$

Этап 1

Найдем $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{r x})$

Этап 1.2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 1.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = r x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $r x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x]$

Этап 1.3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [r x]$

Этап 1.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $r x$ .

$e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Поскольку $r$ является константой относительно $x$ , производная $r x$ по $x$ равна $r \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{r x} (r \cdot 1)$

Этап 1.3.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.3.1

Умножим $r$ на $1$ .

$e^{r x} r$

Этап 1.3.2.3.2

Изменим порядок множителей в $e^{r x} r$ .

$r e^{r x}$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = r e^{r x}$

Этап 2

Найдем $y''$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим производную.

$y'' = \frac{d}{d x} [r e^{r x}]$

Этап 2.2

Поскольку $r$ является константой относительно $x$ , производная $r e^{r x}$ по $x$ равна $r \frac{d}{d x} [e^{r x}]$ .

$y'' = r \frac{d}{d x} [e^{r x}]$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $r x$ .

$y'' = r (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x])$

Этап 2.3.2

$y'' = r (e^{u} \frac{d}{d x} [r x])$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $r x$ .

$y'' = r (e^{r x} \frac{d}{d x} [r x])$

Этап 2.4

Поскольку $r$ является константой относительно $x$ , производная $r x$ по $x$ равна $r \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = r (e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.5

Возведем $r$ в степень $1$ .

$y'' = r^{1} r (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.6

Возведем $r$ в степень $1$ .

$y'' = r^{1} r^{1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y'' = r^{1 + 1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$y'' = r^{2} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y'' = r^{2} (e^{r x} \cdot 1)$

Этап 2.10

Умножим $e^{r x}$ на $1$ .

$y'' = r^{2} e^{r x}$

Этап 3

Подставим в заданное дифференциальное уравнение.

$4 (r^{2} e^{r x}) = y$

Этап 4

Подставим $y$ вместо $e^{r x}$ .

$4 (r^{2} y) = y$

Этап 5

Решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $4 r^{2} y = y$ на $4 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Разделим каждый член $4 r^{2} y = y$ на $4 y$ .

$\frac{4 r^{2} y}{4 y} = \frac{y}{4 y}$

Этап 5.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 r^{2} y}{4 y} = \frac{y}{4 y}$

Этап 5.1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{r^{2} y}{y} = \frac{y}{4 y}$

Этап 5.1.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{r^{2} y}{y} = \frac{y}{4 y}$

Этап 5.1.2.2.2

Разделим $r^{2}$ на $1$ .

$r^{2} = \frac{y}{4 y}$

Этап 5.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.1

Сократим общий множитель.

$r^{2} = \frac{y}{4 y}$

Этап 5.1.3.1.2

Перепишем это выражение.

$r^{2} = \frac{1}{4}$

Этап 5.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$r = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Этап 5.3

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Этап 5.3.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Этап 5.3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$r = \pm \frac{1}{2}$

Этап 5.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$r = \frac{1}{2}$

Этап 5.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$r = - \frac{1}{2}$

Этап 5.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$r = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Введите СВОЮ задачу