Математический анализ Примеры

4 y'' = y

$4 y'' = y$ ,

y = e^{r x}

$y = e^{r x}$

Этап 1

Найдем

y'

$y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{r x})

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{r x})$

Этап 1.2

Производная

y

$y$ по

x

$x$ равна

y'

$y'$ .

y'

$y'$

Этап 1.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ , где

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ и

g (x) = r x

$g (x) = r x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим

u

$u$ как

r x

$r x$ .

\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x]

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x]$

Этап 1.3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид

a^{u} ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ , где

a

$a$ =

e

$e$ .

e^{u} \frac{d}{d x} [r x]

$e^{u} \frac{d}{d x} [r x]$

Этап 1.3.1.3

Заменим все вхождения

u

$u$ на

r x

$r x$ .

e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]

$e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]$

e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]

$e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Поскольку

r

$r$ является константой относительно

x

$x$ , производная

r x

$r x$ по

x

$x$ равна

r \frac{d}{d x} [x]

$r \frac{d}{d x} [x]$ .

e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x])

$e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

e^{r x} (r \cdot 1)

$e^{r x} (r \cdot 1)$

Этап 1.3.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.3.1

Умножим

r

$r$ на

1

$1$ .

e^{r x} r

$e^{r x} r$

Этап 1.3.2.3.2

Изменим порядок множителей в

e^{r x} r

$e^{r x} r$ .

r e^{r x}

$r e^{r x}$

r e^{r x}

$r e^{r x}$

r e^{r x}

$r e^{r x}$

r e^{r x}

$r e^{r x}$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

y' = r e^{r x}

$y' = r e^{r x}$

y' = r e^{r x}

$y' = r e^{r x}$

Этап 2

Найдем

y''

$y''$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим производную.

y'' = \frac{d}{d x} [r e^{r x}]

$y'' = \frac{d}{d x} [r e^{r x}]$

Этап 2.2

Поскольку

r

$r$ является константой относительно

x

$x$ , производная

r e^{r x}

$r e^{r x}$ по

x

$x$ равна

r \frac{d}{d x} [e^{r x}]

$r \frac{d}{d x} [e^{r x}]$ .

y'' = r \frac{d}{d x} [e^{r x}]

$y'' = r \frac{d}{d x} [e^{r x}]$

Этап 2.3

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ , где

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ и

g (x) = r x

$g (x) = r x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим

u

$u$ как

r x

$r x$ .

y'' = r (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x])

$y'' = r (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x])$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид

a^{u} ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ , где

a

$a$ =

e

$e$ .

y'' = r (e^{u} \frac{d}{d x} [r x])

$y'' = r (e^{u} \frac{d}{d x} [r x])$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения

u

$u$ на

r x

$r x$ .

y'' = r (e^{r x} \frac{d}{d x} [r x])

$y'' = r (e^{r x} \frac{d}{d x} [r x])$

y'' = r (e^{r x} \frac{d}{d x} [r x])

$y'' = r (e^{r x} \frac{d}{d x} [r x])$

Этап 2.4

Поскольку

r

$r$ является константой относительно

x

$x$ , производная

r x

$r x$ по

x

$x$ равна

r \frac{d}{d x} [x]

$r \frac{d}{d x} [x]$ .

y'' = r (e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x]))

$y'' = r (e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.5

Возведем

r

$r$ в степень

1

$1$ .

y'' = r^{1} r (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))

$y'' = r^{1} r (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.6

Возведем

r

$r$ в степень

1

$1$ .

y'' = r^{1} r^{1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))

$y'' = r^{1} r^{1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.7

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

y'' = r^{1 + 1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))

$y'' = r^{1 + 1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.8

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

y'' = r^{2} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))

$y'' = r^{2} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

y'' = r^{2} (e^{r x} \cdot 1)

$y'' = r^{2} (e^{r x} \cdot 1)$

Этап 2.10

Умножим

e^{r x}

$e^{r x}$ на

1

$1$ .

y'' = r^{2} e^{r x}

$y'' = r^{2} e^{r x}$

y'' = r^{2} e^{r x}

$y'' = r^{2} e^{r x}$

Этап 3

Подставим в заданное дифференциальное уравнение.

4 (r^{2} e^{r x}) = y

$4 (r^{2} e^{r x}) = y$

Этап 4

Подставим

y

$y$ вместо

e^{r x}

$e^{r x}$ .

4 (r^{2} y) = y

$4 (r^{2} y) = y$

Этап 5

Решим относительно

r

$r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член

4 r^{2} y = y

$4 r^{2} y = y$ на

4 y

$4 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Разделим каждый член

4 r^{2} y = y

$4 r^{2} y = y$ на

4 y

$4 y$ .

\frac{4 r^{2} y}{4 y} = \frac{y}{4 y}

$\frac{4 r^{2} y}{4 y} = \frac{y}{4 y}$

Этап 5.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Сократим общий множитель

4

$4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 r^{2} y}{4 y} = \frac{y}{4 y}$

Этап 5.1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{r^{2} y}{y} = \frac{y}{4 y}$

Этап 5.1.2.2

Сократим общий множитель

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{r^{2} y}{y} = \frac{y}{4 y}$

Этап 5.1.2.2.2

Разделим

$r^{2}$ на

$1$ .

$r^{2} = \frac{y}{4 y}$

Этап 5.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Сократим общий множитель

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.1

Сократим общий множитель.

$r^{2} = \frac{y}{4 y}$

Этап 5.1.3.1.2

Перепишем это выражение.

$r^{2} = \frac{1}{4}$

Этап 5.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$r = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Этап 5.3

Упростим

$\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем

$\sqrt{\frac{1}{4}}$ в виде

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Этап 5.3.2

Любой корень из

$1$ равен

$1$ .

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Этап 5.3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Перепишем

$4$ в виде

$2^{2}$ .

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$r = \pm \frac{1}{2}$

Этап 5.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Сначала с помощью положительного значения

$\pm$ найдем первое решение.

$r = \frac{1}{2}$

Этап 5.4.2

Затем, используя отрицательное значение

$\pm$ , найдем второе решение.

$r = - \frac{1}{2}$

Этап 5.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$r = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Введите СВОЮ задачу