Математический анализ Примеры

y' = 2 y

$y' = 2 y$ ,

y = c e^{2 x}

$y = c e^{2 x}$ ,

y (0) = 3

$y (0) = 3$

Этап 1

Удостоверимся, что данное решение удовлетворяет дифференциальному уравнению.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем

y'

$y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{2 x})

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{2 x})$

Этап 1.1.2

Производная

y

$y$ по

x

$x$ равна

y'

$y'$ .

y'

$y'$

Этап 1.1.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку

c

$c$ является константой относительно

x

$x$ , производная

c e^{2 x}

$c e^{2 x}$ по

x

$x$ равна

c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]

$c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]

$c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ , где

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ и

g (x) = 2 x

$g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим

u

$u$ как

2 x

$2 x$ .

c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])

$c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид

a^{u} \ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ , где

a

$a$ =

e

$e$ .

c (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])

$c (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.1.3.2.3

Заменим все вхождения

u

$u$ на

2 x

$2 x$ .

c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])

$c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])

$c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Поскольку

2

$2$ является константой относительно

x

$x$ , производная

2 x

$2 x$ по

x

$x$ равна

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

c e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])

$c e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

c e^{2 x} (2 \cdot 1)

$c e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Этап 1.1.3.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.3.1

Умножим

2

$2$ на

1

$1$ .

c e^{2 x} \cdot 2

$c e^{2 x} \cdot 2$

Этап 1.1.3.3.3.2

Перенесем

2

$2$ влево от

c e^{2 x}

$c e^{2 x}$ .

2 \cdot (c e^{2 x})

$2 \cdot (c e^{2 x})$

2 \cdot (c e^{2 x})

$2 \cdot (c e^{2 x})$

2 \cdot (c e^{2 x})

$2 \cdot (c e^{2 x})$

Этап 1.1.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Изменим порядок множителей в

2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x}$ .

2 e^{2 x} c

$2 e^{2 x} c$

Этап 1.1.3.4.2

Изменим порядок множителей в

2 e^{2 x} c

$2 e^{2 x} c$ .

2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x}$

2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x}$

2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x}$

Этап 1.1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

y' = 2 c e^{2 x}

$y' = 2 c e^{2 x}$

y' = 2 c e^{2 x}

$y' = 2 c e^{2 x}$

Этап 1.2

Подставим в заданное дифференциальное уравнение.

2 c e^{2 x} = 2 (c e^{2 x})

$2 c e^{2 x} = 2 (c e^{2 x})$

Этап 1.3

Избавимся от скобок.

2 c e^{2 x} = 2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x} = 2 c e^{2 x}$

Этап 1.4

Данное решение удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению.

y = c e^{2 x}

$y = c e^{2 x}$ является решением уравнения

y' = 2 y

$y' = 2 y$

y = c e^{2 x}

$y = c e^{2 x}$ является решением уравнения

y' = 2 y

$y' = 2 y$

Этап 2

Подставим в начальное условие.

3 = c e^{2 \cdot 0}

$3 = c e^{2 \cdot 0}$

Этап 3

Решим относительно

c

$c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде

c e^{2 \cdot 0} = 3

$c e^{2 \cdot 0} = 3$ .

c e^{2 \cdot 0} = 3

$c e^{2 \cdot 0} = 3$

Этап 3.2

Упростим

c e^{2 \cdot 0}

$c e^{2 \cdot 0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим

2

$2$ на

0

$0$ .

c e^{0} = 3

$c e^{0} = 3$

Этап 3.2.2

Любое число в степени

0

$0$ равно

1

$1$ .

c \cdot 1 = 3

$c \cdot 1 = 3$

Этап 3.2.3

Умножим

c

$c$ на

1

$1$ .

c = 3

$c = 3$

c = 3

$c = 3$

c = 3

$c = 3$

Введите СВОЮ задачу