Математический анализ Примеры

$y' = 2 x y$ , $y = c e^{x^{2}}$ , $y (0) = 1$

Этап 1

Удостоверимся, что данное решение удовлетворяет дифференциальному уравнению.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{x^{2}})$

Этап 1.1.2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 1.1.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $c$ является константой относительно $x$ , производная $c e^{x^{2}}$ по $x$ равна $c \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ .

$c \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$c (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$c (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$c e^{x^{2}} (2 x)$

Этап 1.1.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Изменим порядок множителей в $c e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} c x$

Этап 1.1.3.4.2

Изменим порядок множителей в $2 e^{x^{2}} c x$ .

$2 c x e^{x^{2}}$

Этап 1.1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 2 c x e^{x^{2}}$

Этап 1.2

Подставим в заданное дифференциальное уравнение.

$2 c x e^{x^{2}} = 2 x (c e^{x^{2}})$

Этап 1.3

Изменим порядок множителей в $2 c x e^{x^{2}} = 2 x (c e^{x^{2}})$ .

$2 c x e^{x^{2}} = 2 x c e^{x^{2}}$

Этап 1.4

Данное решение удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению.

$y = c e^{x^{2}}$ является решением уравнения $y' = 2 x y$

Этап 2

Подставим в начальное условие.

$1 = c e^{0^{2}}$

Этап 3

Решим относительно $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $c e^{0^{2}} = 1$ .

$c e^{0^{2}} = 1$

Этап 3.2

Разделим каждый член $c e^{0^{2}} = 1$ на $e^{0^{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $c e^{0^{2}} = 1$ на $e^{0^{2}}$ .

$\frac{c e^{0^{2}}}{e^{0^{2}}} = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{0^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{c e^{0^{2}}}{e^{0^{2}}} = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $c$ на $1$ .

$c = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$c = \frac{1}{e^{0}}$

Этап 3.2.3.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$c = \frac{1}{1}$

Этап 3.2.3.2

Разделим $1$ на $1$ .

$c = 1$

Введите СВОЮ задачу