Математический анализ Примеры

y' = 3 x^{2}

$y' = 3 x^{2}$ ,

y = x^{3} - 4 + c

$y = x^{3} - 4 + c$ ,

y (0) = 5

$y (0) = 5$

Этап 1

Удостоверимся, что данное решение удовлетворяет дифференциальному уравнению.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем

y'

$y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3} - 4 + c)

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3} - 4 + c)$

Этап 1.1.2

Производная

y

$y$ по

x

$x$ равна

y'

$y'$ .

y'

$y'$

Этап 1.1.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

По правилу суммы производная

x^{3} - 4 + c

$x^{3} - 4 + c$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]$ .

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 3

$n = 3$ .

3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]$

Этап 1.1.3.3

Поскольку

- 4

$- 4$ является константой относительно

x

$x$ , производная

- 4

$- 4$ относительно

x

$x$ равна

0

$0$ .

3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [c]

$3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [c]$

Этап 1.1.3.4

Поскольку

c

$c$ является константой относительно

x

$x$ , производная

c

$c$ относительно

x

$x$ равна

0

$0$ .

3 x^{2} + 0 + 0

$3 x^{2} + 0 + 0$

Этап 1.1.3.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Добавим

3 x^{2}

$3 x^{2}$ и

0

$0$ .

3 x^{2} + 0

$3 x^{2} + 0$

Этап 1.1.3.5.2

Добавим

3 x^{2}

$3 x^{2}$ и

0

$0$ .

3 x^{2}

$3 x^{2}$

3 x^{2}

$3 x^{2}$

3 x^{2}

$3 x^{2}$

Этап 1.1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

y' = 3 x^{2}

$y' = 3 x^{2}$

y' = 3 x^{2}

$y' = 3 x^{2}$

Этап 1.2

Подставим в заданное дифференциальное уравнение.

3 x^{2} = 3 x^{2}

$3 x^{2} = 3 x^{2}$

Этап 1.3

Данное решение удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению.

y = x^{3} - 4 + c

$y = x^{3} - 4 + c$ является решением уравнения

y' = 3 x^{2}

$y' = 3 x^{2}$

y = x^{3} - 4 + c

$y = x^{3} - 4 + c$ является решением уравнения

y' = 3 x^{2}

$y' = 3 x^{2}$

Этап 2

Подставим в начальное условие.

5 = 0^{3} - 4 + c

$5 = 0^{3} - 4 + c$

Этап 3

Решим относительно

c

$c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде

0^{3} - 4 + c = 5

$0^{3} - 4 + c = 5$ .

0^{3} - 4 + c = 5

$0^{3} - 4 + c = 5$

Этап 3.2

Упростим

0^{3} - 4 + c

$0^{3} - 4 + c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведение

0

$0$ в любую положительную степень дает

0

$0$ .

0 - 4 + c = 5

$0 - 4 + c = 5$

Этап 3.2.2

Вычтем

4

$4$ из

0

$0$ .

- 4 + c = 5

$- 4 + c = 5$

- 4 + c = 5

$- 4 + c = 5$

Этап 3.3

Перенесем все члены без

c

$c$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Добавим

4

$4$ к обеим частям уравнения.

c = 5 + 4

$c = 5 + 4$

Этап 3.3.2

Добавим

5

$5$ и

4

$4$ .

c = 9

$c = 9$

c = 9

$c = 9$

c = 9

$c = 9$

Введите СВОЮ задачу