Математический анализ Примеры
y′=3x2 , y=x3-4+c , y(0)=5
Этап 1
Этап 1.1
Найдем y′.
Этап 1.1.1
Продифференцируем обе части уравнения.
ddx(y)=ddx(x3-4+c)
Этап 1.1.2
Производная y по x равна y′.
y′
Этап 1.1.3
Продифференцируем правую часть уравнения.
Этап 1.1.3.1
По правилу суммы производная x3-4+c по x имеет вид ddx[x3]+ddx[-4]+ddx[c].
ddx[x3]+ddx[-4]+ddx[c]
Этап 1.1.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ddx[xn] имеет вид nxn-1, где n=3.
3x2+ddx[-4]+ddx[c]
Этап 1.1.3.3
Поскольку -4 является константой относительно x, производная -4 относительно x равна 0.
3x2+0+ddx[c]
Этап 1.1.3.4
Поскольку c является константой относительно x, производная c относительно x равна 0.
3x2+0+0
Этап 1.1.3.5
Объединим термины.
Этап 1.1.3.5.1
Добавим 3x2 и 0.
3x2+0
Этап 1.1.3.5.2
Добавим 3x2 и 0.
3x2
3x2
3x2
Этап 1.1.4
Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.
y′=3x2
y′=3x2
Этап 1.2
Подставим в заданное дифференциальное уравнение.
3x2=3x2
Этап 1.3
Данное решение удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению.
y=x3-4+c является решением уравнения y′=3x2
y=x3-4+c является решением уравнения y′=3x2
Этап 2
Подставим в начальное условие.
5=03-4+c
Этап 3
Этап 3.1
Перепишем уравнение в виде 03-4+c=5.
03-4+c=5
Этап 3.2
Упростим 03-4+c.
Этап 3.2.1
Возведение 0 в любую положительную степень дает 0.
0-4+c=5
Этап 3.2.2
Вычтем 4 из 0.
-4+c=5
-4+c=5
Этап 3.3
Перенесем все члены без c в правую часть уравнения.
Этап 3.3.1
Добавим 4 к обеим частям уравнения.
c=5+4
Этап 3.3.2
Добавим 5 и 4.
c=9
c=9
c=9