Математический анализ Примеры

$y' = 2 y$ , $y = c e^{2 x}$ , $y (0) = 3$

Этап 1

Удостоверимся, что данное решение удовлетворяет дифференциальному уравнению.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{2 x})$

Этап 1.1.2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 1.1.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $c$ является константой относительно $x$ , производная $c e^{2 x}$ по $x$ равна $c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$c (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$c e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$c e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Этап 1.1.3.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$c e^{2 x} \cdot 2$

Этап 1.1.3.3.3.2

Перенесем $2$ влево от $c e^{2 x}$ .

$2 \cdot (c e^{2 x})$

Этап 1.1.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Изменим порядок множителей в $2 c e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} c$

Этап 1.1.3.4.2

Изменим порядок множителей в $2 e^{2 x} c$ .

$2 c e^{2 x}$

Этап 1.1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 2 c e^{2 x}$

Этап 1.2

Подставим в заданное дифференциальное уравнение.

$2 c e^{2 x} = 2 (c e^{2 x})$

Этап 1.3

Избавимся от скобок.

$2 c e^{2 x} = 2 c e^{2 x}$

Этап 1.4

Данное решение удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению.

$y = c e^{2 x}$ является решением уравнения $y' = 2 y$

Этап 2

Подставим в начальное условие.

$3 = c e^{2 \cdot 0}$

Этап 3

Решим относительно $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $c e^{2 \cdot 0} = 3$ .

$c e^{2 \cdot 0} = 3$

Этап 3.2

Упростим $c e^{2 \cdot 0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $2$ на $0$ .

$c e^{0} = 3$

Этап 3.2.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$c \cdot 1 = 3$

Этап 3.2.3

Умножим $c$ на $1$ .

$c = 3$

Введите СВОЮ задачу