Математический анализ Примеры

\frac{d y}{d x} = e^{- y} (2 x - 3)

$\frac{d y}{d x} = e^{- y} (2 x - 3)$ ,

y (1) = 0

$y (1) = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на

\frac{1}{e^{- y}}

$\frac{1}{e^{- y}}$ .

\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (2 x - 3))

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (2 x - 3))$

Этап 1.2

Сократим общий множитель

e^{- y}

$e^{- y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (2 x - 3))

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (2 x - 3))$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 2 x - 3

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 2 x - 3$

\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 2 x - 3

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 2 x - 3$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

\frac{1}{e^{- y}} d y = (2 x - 3) d x

$\frac{1}{e^{- y}} d y = (2 x - 3) d x$

\frac{1}{e^{- y}} d y = (2 x - 3) d x

$\frac{1}{e^{- y}} d y = (2 x - 3) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int 2 x - 3 d x

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int 2 x - 3 d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Поменяем знак экспоненты

e^{- y}

$e^{- y}$ и вынесем ее из знаменателя.

\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int 2 x - 3 d x

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int 2 x - 3 d x$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Перемножим экспоненты в

{(e^{- y})}^{- 1}

${(e^{- y})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int 2 x - 3 d x

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int 2 x - 3 d x$

Этап 2.2.1.2.1.2

Умножим

- y \cdot - 1

$- y \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1.2.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 1

$- 1$ .

\int 1 e^{1 y} d y = \int 2 x - 3 d x

$\int 1 e^{1 y} d y = \int 2 x - 3 d x$

Этап 2.2.1.2.1.2.2

Умножим

y

$y$ на

1

$1$ .

\int 1 e^{y} d y = \int 2 x - 3 d x

$\int 1 e^{y} d y = \int 2 x - 3 d x$

\int 1 e^{y} d y = \int 2 x - 3 d x

$\int 1 e^{y} d y = \int 2 x - 3 d x$

\int 1 e^{y} d y = \int 2 x - 3 d x

$\int 1 e^{y} d y = \int 2 x - 3 d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим

e^{y}

$e^{y}$ на

1

$1$ .

\int e^{y} d y = \int 2 x - 3 d x

$\int e^{y} d y = \int 2 x - 3 d x$

\int e^{y} d y = \int 2 x - 3 d x

$\int e^{y} d y = \int 2 x - 3 d x$

\int e^{y} d y = \int 2 x - 3 d x

$\int e^{y} d y = \int 2 x - 3 d x$

Этап 2.2.2

Интеграл

e^{y}

$e^{y}$ по

y

$y$ имеет вид

e^{y}

$e^{y}$ .

e^{y} + C_{1} = \int 2 x - 3 d x

$e^{y} + C_{1} = \int 2 x - 3 d x$

e^{y} + C_{1} = \int 2 x - 3 d x

$e^{y} + C_{1} = \int 2 x - 3 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

e^{y} + C_{1} = \int 2 x d x + \int - 3 d x

$e^{y} + C_{1} = \int 2 x d x + \int - 3 d x$

Этап 2.3.2

Поскольку

2

$2$ — константа по отношению к

x

$x$ , вынесем

2

$2$ из-под знака интеграла.

e^{y} + C_{1} = 2 \int x d x + \int - 3 d x

$e^{y} + C_{1} = 2 \int x d x + \int - 3 d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл

x

$x$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{1}{2} x^{2}

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 3 d x

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 3 d x$

Этап 2.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 3 x + C_{3}

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 3 x + C_{3}$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Объединим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ и

x^{2}

$x^{2}$ .

e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 3 x + C_{3}

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 3 x + C_{3}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

e^{y} + C_{1} = x^{2} - 3 x + C_{4}

$e^{y} + C_{1} = x^{2} - 3 x + C_{4}$

e^{y} + C_{1} = x^{2} - 3 x + C_{4}

$e^{y} + C_{1} = x^{2} - 3 x + C_{4}$

e^{y} + C_{1} = x^{2} - 3 x + C_{4}

$e^{y} + C_{1} = x^{2} - 3 x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как

K

$K$ .

e^{y} = x^{2} - 3 x + K

$e^{y} = x^{2} - 3 x + K$

e^{y} = x^{2} - 3 x + K

$e^{y} = x^{2} - 3 x + K$

Этап 3

Решим относительно

y

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

\ln (e^{y}) = \ln (x^{2} - 3 x + K)

$\ln (e^{y}) = \ln (x^{2} - 3 x + K)$

Этап 3.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Развернем

\ln (e^{y})

$\ln (e^{y})$ , вынося

y

$y$ из логарифма.

y \ln (e) = \ln (x^{2} - 3 x + K)

$y \ln (e) = \ln (x^{2} - 3 x + K)$

Этап 3.2.2

Натуральный логарифм

e

$e$ равен

1

$1$ .

y \cdot 1 = \ln (x^{2} - 3 x + K)

$y \cdot 1 = \ln (x^{2} - 3 x + K)$

Этап 3.2.3

Умножим

y

$y$ на

1

$1$ .

y = \ln (x^{2} - 3 x + K)

$y = \ln (x^{2} - 3 x + K)$

y = \ln (x^{2} - 3 x + K)

$y = \ln (x^{2} - 3 x + K)$

y = \ln (x^{2} - 3 x + K)

$y = \ln (x^{2} - 3 x + K)$

Этап 4

Используем начальное условие, чтобы найти значение

K

$K$ , подставив

1

$1$ вместо

x

$x$ и

0

$0$ вместо

y

$y$ в

y = \ln (x^{2} - 3 x + K)

$y = \ln (x^{2} - 3 x + K)$ .

0 = \ln (1^{2} - 3 \cdot 1 + K)

$0 = \ln (1^{2} - 3 \cdot 1 + K)$

Этап 5

Решим относительно

K

$K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде

\ln (1^{2} - 3 \cdot 1 + K) = 0

$\ln (1^{2} - 3 \cdot 1 + K) = 0$ .

\ln (1^{2} - 3 \cdot 1 + K) = 0

$\ln (1^{2} - 3 \cdot 1 + K) = 0$

Этап 5.2

Чтобы решить относительно

K

$K$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

e^{\ln (1^{2} - 3 \cdot 1 + K)} = e^{0}

$e^{\ln (1^{2} - 3 \cdot 1 + K)} = e^{0}$

Этап 5.3

Перепишем

\ln (1^{2} - 3 \cdot 1 + K) = 0

$\ln (1^{2} - 3 \cdot 1 + K) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если

x

$x$ и

b

$b$ — положительные вещественные числа и

b \neq 1

$b \neq 1$ , то

\log_{b} (x) = y

$\log_{b} (x) = y$ эквивалентно

b^{y} = x

$b^{y} = x$ .

e^{0} = 1^{2} - 3 \cdot 1 + K

$e^{0} = 1^{2} - 3 \cdot 1 + K$

Этап 5.4

Решим относительно

K

$K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перепишем уравнение в виде

1^{2} - 3 \cdot 1 + K = e^{0}

$1^{2} - 3 \cdot 1 + K = e^{0}$ .

1^{2} - 3 \cdot 1 + K = e^{0}

$1^{2} - 3 \cdot 1 + K = e^{0}$

Этап 5.4.2

Упростим

1^{2} - 3 \cdot 1 + K

$1^{2} - 3 \cdot 1 + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

1 - 3 \cdot 1 + K = e^{0}

$1 - 3 \cdot 1 + K = e^{0}$

Этап 5.4.2.1.2

Умножим

- 3

$- 3$ на

1

$1$ .

1 - 3 + K = e^{0}

$1 - 3 + K = e^{0}$

1 - 3 + K = e^{0}

$1 - 3 + K = e^{0}$

Этап 5.4.2.2

Вычтем

3

$3$ из

1

$1$ .

- 2 + K = e^{0}

$- 2 + K = e^{0}$

- 2 + K = e^{0}

$- 2 + K = e^{0}$

Этап 5.4.3

Любое число в степени

0

$0$ равно

1

$1$ .

- 2 + K = 1

$- 2 + K = 1$

Этап 5.4.4

Перенесем все члены без

K

$K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.1

Добавим

2

$2$ к обеим частям уравнения.

K = 1 + 2

$K = 1 + 2$

Этап 5.4.4.2

Добавим

1

$1$ и

2

$2$ .

K = 3

$K = 3$

K = 3

$K = 3$

K = 3

$K = 3$

K = 3

$K = 3$

Этап 6

Подставим

3

$3$ вместо

K

$K$ в

y = \ln (x^{2} - 3 x + K)

$y = \ln (x^{2} - 3 x + K)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Подставим

3

$3$ вместо

K

$K$ .

y = \ln (x^{2} - 3 x + 3)

$y = \ln (x^{2} - 3 x + 3)$

y = \ln (x^{2} - 3 x + 3)

$y = \ln (x^{2} - 3 x + 3)$

Введите СВОЮ задачу