Математический анализ Примеры

$x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3$ , $y (1) = 1$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}$

Этап 1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x} - \frac{3}{x}$

Этап 1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y - 3}{x}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{4 y - 3}$ .

$\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y - 3} \cdot \frac{4 y - 3}{x}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $4 y - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y - 3} \cdot \frac{4 y - 3}{x}$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{4 y - 3} d y = \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{4 y - 3} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = 4 y - 3$ . Тогда $d u = 4 d y$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = 4 y - 3$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $4 y - 3$ .

$\frac{d}{d y} [4 y - 3]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $4 y - 3$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Этап 2.2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [4 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $y$ , производная $4 y$ по $y$ равна $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Этап 2.2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Этап 2.2.1.1.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Этап 2.2.1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.4.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $y$ , производная $- 3$ относительно $y$ равна $0$ .

$4 + 0$

Этап 2.2.1.1.4.2

Добавим $4$ и $0$ .

$4$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 4} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.2.2

Перенесем $4$ влево от $u$ .

$\int \frac{1}{4 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

$\frac{1}{4} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.6

Заменим все вхождения $u$ на $4 y - 3$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) = \ln (| x |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $4$ .

$4 (\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |)) = 4 (\ln (| x |) + C)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $4 (\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\ln (| 4 y - 3 |)$ .

$4 \frac{\ln (| 4 y - 3 |)}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{\ln (| 4 y - 3 |)}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| 4 y - 3 |) = 4 (\ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 4 y - 3 |) = 4 \ln (| x |) + 4 C$

Этап 3.3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| 4 y - 3 |) - 4 \ln (| x |) = 4 C$

Этап 3.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим $\ln (| 4 y - 3 |) - 4 \ln (| x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.1

Упростим $- 4 \ln (| x |)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$\ln (| 4 y - 3 |) - \ln ({| x |}^{4}) = 4 C$

Этап 3.4.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| x |}^{4}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln (| 4 y - 3 |) - \ln (x^{4}) = 4 C$

Этап 3.4.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}) = 4 C$

Этап 3.5

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}})} = e^{4 C}$

Этап 3.6

Перепишем $\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}) = 4 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{4 C} = \frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}$

Этап 3.7

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} = e^{4 C}$ .

$\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} = e^{4 C}$

Этап 3.7.2

Умножим обе части на $x^{4}$ .

$\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} x^{4} = e^{4 C} x^{4}$

Этап 3.7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} x^{4} = e^{4 C} x^{4}$

Этап 3.7.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$| 4 y - 3 | = e^{4 C} x^{4}$

Этап 3.7.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.2.1

Изменим порядок множителей в $e^{4 C} x^{4}$ .

$| 4 y - 3 | = x^{4} e^{4 C}$

Этап 3.7.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$4 y - 3 = \pm x^{4} e^{4 C}$

Этап 3.7.4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$4 y = \pm x^{4} e^{4 C} + 3$

Этап 3.7.4.3

Разделим каждый член $4 y = \pm x^{4} e^{4 C} + 3$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.3.1

Разделим каждый член $4 y = \pm x^{4} e^{4 C} + 3$ на $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{4} + \frac{3}{4}$

Этап 3.7.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{4} + \frac{3}{4}$

Этап 3.7.4.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{4} + \frac{3}{4}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\pm x^{4} C}{4} + \frac{3}{4}$

Этап 4.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = \frac{C x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

Этап 5

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $1$ вместо $x$ и $1$ вместо $y$ в $y = \frac{C x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$ .

$1 = \frac{C \cdot 1^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

Этап 6

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{C \cdot 1^{4}}{4} + \frac{3}{4} = 1$ .

$\frac{C \cdot 1^{4}}{4} + \frac{3}{4} = 1$

Этап 6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{C \cdot 1}{4} + \frac{3}{4} = 1$

Этап 6.2.2

Умножим $C$ на $1$ .

$\frac{C}{4} + \frac{3}{4} = 1$

Этап 6.3

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вычтем $\frac{3}{4}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{C}{4} = 1 - \frac{3}{4}$

Этап 6.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{C}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4}$

Этап 6.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{C}{4} = \frac{4 - 3}{4}$

Этап 6.3.4

Вычтем $3$ из $4$ .

$\frac{C}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 6.4

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$C = 1$

Этап 7

Подставим $1$ вместо $C$ в $y = \frac{C x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $1$ вместо $C$ .

$y = \frac{1 x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

Этап 7.2

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

Введите СВОЮ задачу