Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} = e^{t}$ , $y (0) = 0$ , $t = 1$ , $h = 0.1$

Этап 1

Определим $f (t, y)$ так, чтобы $\frac{d y}{d t} = f (t, y)$ .

$f (t, y) = e^{t}$

Этап 2

Найдем $f (0, 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $0$ вместо $t$ , а $0$ вместо $y$ .

$f (0, 0) = e^{0}$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Заменим $e$ приближением.

$f (0, 0) = {2.71828182}^{0}$

Этап 2.2.2

Возведем $2.71828182$ в степень $0$ .

$f (0, 0) = 1$

Этап 3

Используя рекурсивную формулу $y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})$ , найдем $y_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим.

$y_{1} = 0 + 0.1 \cdot 1$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $0.1$ на $1$ .

$y_{1} = 0 + 0.1$

Этап 3.2.2

Добавим $0$ и $0.1$ .

$y_{1} = 0.1$

Этап 4

Используя рекурсивную формулу $t_{1} = t_{0} + h$ , найдем $t_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим.

$t_{1} = 0 + 0.1$

Этап 4.2

Добавим $0$ и $0.1$ .

$t_{1} = 0.1$

Этап 5

Найдем $f (0.1, 0.1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $0.1$ вместо $t$ , а $0.1$ вместо $y$ .

$f (0.1, 0.1) = e^{0.1}$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Заменим $e$ приближением.

$f (0.1, 0.1) = {2.71828182}^{0.1}$

Этап 5.2.2

Возведем $2.71828182$ в степень $0.1$ .

$f (0.1, 0.1) = 1.10517091$

Этап 6

Используя рекурсивную формулу $y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})$ , найдем $y_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Подставим.

$y_{2} = 0.1 + 0.1 \cdot 1.10517091$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $0.1$ на $1.10517091$ .

$y_{2} = 0.1 + 0.11051709$

Этап 6.2.2

Добавим $0.1$ и $0.11051709$ .

$y_{2} = 0.21051709$

Этап 7

Используя рекурсивную формулу $t_{2} = t_{1} + h$ , найдем $t_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим.

$t_{2} = 0.1 + 0.1$

Этап 7.2

Добавим $0.1$ и $0.1$ .

$t_{2} = 0.2$

Этап 8

Продолжим таким же образом до приближения к желаемым значениям.

Этап 9

Перечислим приблизительные значения в таблице.

$\begin{array}{c} t_{n} & y_{n} \\ 0 & 0 \\ 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.21051709 \\ 0.3 & 0.33265736 \\ 0.4 & 0.46764324 \\ 0.5 & 0.61682571 \\ 0.6 & 0.78169784 \\ 0.7 & 0.96390972 \\ 0.8 & 1.16528499 \\ 0.9 & 1.38783908 \\ 1 & 1.63379939 \end{array}$

Введите СВОЮ задачу