Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} = \sin (t)$ , $y (0) = 1$ , $t = 0.5$ , $h = 0.05$

Этап 1

Определим $f (t, y)$ так, чтобы $\frac{d y}{d t} = f (t, y)$ .

$f (t, y) = \sin (t)$

Этап 2

Найдем $f (0, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $0$ вместо $t$ , а $1$ вместо $y$ .

$f (0, 1) = \sin (0)$

Этап 2.2

Найдем значение $\sin (0)$ .

$f (0, 1) = 0$

Этап 3

Используя рекурсивную формулу $y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})$ , найдем $y_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим.

$y_{1} = 1 + 0.05 \cdot 0$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $0.05$ на $0$ .

$y_{1} = 1 + 0$

Этап 3.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$y_{1} = 1$

Этап 4

Используя рекурсивную формулу $t_{1} = t_{0} + h$ , найдем $t_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим.

$t_{1} = 0 + 0.05$

Этап 4.2

Добавим $0$ и $0.05$ .

$t_{1} = 0.05$

Этап 5

Найдем $f (0.05, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $0.05$ вместо $t$ , а $1$ вместо $y$ .

$f (0.05, 1) = \sin (0.05)$

Этап 5.2

Найдем значение $\sin (0.05)$ .

$f (0.05, 1) = 0.04997916$

Этап 6

Используя рекурсивную формулу $y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})$ , найдем $y_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Подставим.

$y_{2} = 1 + 0.05 \cdot 0.04997916$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $0.05$ на $0.04997916$ .

$y_{2} = 1 + 0.00249895$

Этап 6.2.2

Добавим $1$ и $0.00249895$ .

$y_{2} = 1.00249895$

Этап 7

Используя рекурсивную формулу $t_{2} = t_{1} + h$ , найдем $t_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим.

$t_{2} = 0.05 + 0.05$

Этап 7.2

Добавим $0.05$ и $0.05$ .

$t_{2} = 0.1$

Этап 8

Продолжим таким же образом до приближения к желаемым значениям.

Этап 9

Перечислим приблизительные значения в таблице.

$\begin{array}{c} t_{n} & y_{n} \\ 0 & 1 \\ 0.05 & 1 \\ 0.1 & 1.00249895 \\ 0.15 & 1.00749062 \\ 0.2 & 1.01496253 \\ 0.25 & 1.024896 \\ 0.3 & 1.0372662 \\ 0.35 & 1.05204221 \\ 0.4 & 1.0691871 \\ 0.45 & 1.08865801 \\ 0.5 & 1.11040629 \end{array}$

Введите СВОЮ задачу