Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} + 2 x$

Этап 1

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} + 2 (x + h)$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = (x + h) (x + h) + 2 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.2

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) + 2 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) + 2 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 2 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 2 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 2 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.3.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} + 2 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.3.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 x + 2 h$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 x + 2 h$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 x + 2 h$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $2 x$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h + 2 x$

Этап 2.2.2

Перенесем $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 2 h + 2 x$

Этап 2.2.3

Изменим порядок $2 h x$ и $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x$

$f (x) = x^{2} + 2 x$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x$

$f (x) = x^{2} + 2 x$

Этап 3

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x - (x^{2} + 2 x)}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x - x^{2} - (2 x)}{h}$

Этап 4.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x - x^{2} - 2 x}{h}$

Этап 4.1.3

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 2 h + 2 x + 0 - 2 x}{h}$

Этап 4.1.4

Добавим $h^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 2 h + 2 x - 2 x}{h}$

Этап 4.1.5

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 2 h + 0}{h}$

Этап 4.1.6

Добавим $h^{2} + 2 h x + 2 h$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 2 h}{h}$

Этап 4.1.7

Вынесем множитель $h$ из $h^{2} + 2 h x + 2 h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Вынесем множитель $h$ из $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x + 2 h}{h}$

Этап 4.1.7.2

Вынесем множитель $h$ из $2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + 2 h}{h}$

Этап 4.1.7.3

Вынесем множитель $h$ из $2 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 2}{h}$

Этап 4.1.7.4

Вынесем множитель $h$ из $h (h) + h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot 2}{h}$

Этап 4.1.7.5

Вынесем множитель $h$ из $h (h + 2 x) + h \cdot 2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 2)}{h}$

Этап 4.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 2)}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $h + 2 x + 2$ на $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x + 2$

Этап 4.2.2

Изменим порядок $h$ и $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h + 2$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2$

Этап 5.2

Найдем предел $2 x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2$

Этап 5.3

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + 2$

Этап 6

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$2 x + 0 + 2$

Этап 7

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x + 2$

Этап 8

Введите СВОЮ задачу