Математический анализ Примеры

y = x^{ln (x)}

$y = x^{\ln (x)}$

Этап 1

Пусть

y = f (x)

$y = f (x)$ , возьмем натуральный логарифм обеих частей

ln (y) = ln (f (x))

$\ln (y) = \ln (f (x))$ .

ln (y) = ln (x^{ln (x)})

$\ln (y) = \ln (x^{\ln (x)})$

Этап 2

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Развернем

ln (x^{ln (x)})

$\ln (x^{\ln (x)})$ , вынося

ln (x)

$\ln (x)$ из логарифма.

ln (y) = ln (x) ln (x)

$\ln (y) = \ln (x) \ln (x)$

Этап 2.2

Возведем

ln (x)

$\ln (x)$ в степень

1

$1$ .

ln (y) = {ln}^{1} (x) ln (x)

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln (x)$

Этап 2.3

Возведем

ln (x)

$\ln (x)$ в степень

1

$1$ .

ln (y) = {ln}^{1} (x) {ln}^{1} (x)

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln^{1} (x)$

Этап 2.4

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

ln (y) = {ln (x)}^{1 + 1}

$\ln (y) = {\ln (x)}^{1 + 1}$

Этап 2.5

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

ln (y) = {ln}^{2} (x)

$\ln (y) = \ln^{2} (x)$

ln (y) = {ln}^{2} (x)

$\ln (y) = \ln^{2} (x)$

Этап 3

Продифференцируем выражение, используя цепное правило, учитывая, что

y

$y$ — функция от

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем левую часть

ln (y)

$\ln (y)$ , используя цепное правило.

\frac{y'}{y} = {ln}^{2} (x)

$\frac{y'}{y} = \ln^{2} (x)$

Этап 3.2

Продифференцируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Дифференцируем

{ln}^{2} (x)

$\ln^{2} (x)$ .

\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [{ln}^{2} (x)]

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ , где

f (x) = x^{2}

$f (x) = x^{2}$ и

g (x) = ln (x)

$g (x) = \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим

u

$u$ как

ln (x)

$\ln (x)$ .

\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [ln (x)]

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 3.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d u} [u^{n}]

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид

n u^{n - 1}

$n u^{n - 1}$ , где

n = 2

$n = 2$ .

\frac{y'}{y} = 2 u \frac{d}{d x} [ln (x)]

$\frac{y'}{y} = 2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 3.2.2.3

Заменим все вхождения

u

$u$ на

ln (x)

$\ln (x)$ .

\frac{y'}{y} = 2 ln (x) \frac{d}{d x} [ln (x)]

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

\frac{y'}{y} = 2 ln (x) \frac{d}{d x} [ln (x)]

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 3.2.3

Производная

ln (x)

$\ln (x)$ по

x

$x$ равна

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ .

\frac{y'}{y} = 2 ln (x) \frac{1}{x}

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{1}{x}$

Этап 3.2.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Объединим

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ и

2

$2$ .

\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} ln (x)

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} \ln (x)$

Этап 3.2.4.2

Объединим

\frac{2}{x}

$\frac{2}{x}$ и

ln (x)

$\ln (x)$ .

\frac{y'}{y} = \frac{2 ln (x)}{x}

$\frac{y'}{y} = \frac{2 \ln (x)}{x}$

\frac{y'}{y} = \frac{2 ln (x)}{x}

$\frac{y'}{y} = \frac{2 \ln (x)}{x}$

Этап 3.2.5

Упростим

2 ln (x)

$2 \ln (x)$ путем переноса

2

$2$ под логарифм.

\frac{y'}{y} = \frac{ln (x^{2})}{x}

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

\frac{y'}{y} = \frac{ln (x^{2})}{x}

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

\frac{y'}{y} = \frac{ln (x^{2})}{x}

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

Этап 4

Изолируем

y'

$y'$ и заменим исходную функцию на

y

$y$ в правой части.

y' = \frac{ln (x^{2})}{x} x^{ln (x)}

$y' = \frac{\ln (x^{2})}{x} x^{\ln (x)}$

Этап 5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим

\frac{ln (x^{2})}{x}

$\frac{\ln (x^{2})}{x}$ и

x^{ln (x)}

$x^{\ln (x)}$ .

y' = \frac{ln (x^{2}) x^{ln (x)}}{x}

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}}{x}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель

x^{ln (x)}

$x^{\ln (x)}$ и

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель

x

$x$ из

ln (x^{2}) x^{ln (x)}

$\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x}$

Этап 5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Возведем

$x$ в степень

$1$ .

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x^{1}}$

Этап 5.2.2.2

Вынесем множитель

$x$ из

$x^{1}$ .

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Этап 5.2.2.3

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Этап 5.2.2.4

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}}{1}$

Этап 5.2.2.5

Разделим

$\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ на

$1$ .

$y' = \ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$

Этап 5.3

Изменим порядок множителей в

$\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ .

$y' = x^{\ln (x) - 1} \ln (x^{2})$

Введите СВОЮ задачу