Математический анализ Примеры

y = x^{\sqrt{x}}

$y = x^{\sqrt{x}}$

Этап 1

Пусть

y = f (x)

$y = f (x)$ , возьмем натуральный логарифм обеих частей

ln (y) = ln (f (x))

$\ln (y) = \ln (f (x))$ .

ln (y) = ln (x^{\sqrt{x}})

$\ln (y) = \ln (x^{\sqrt{x}})$

Этап 2

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$ в виде

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ .

ln (y) = ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})

$\ln (y) = \ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.2

Развернем

ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})

$\ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})$ , вынося

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ из логарифма.

ln (y) = x^{\frac{1}{2}} ln (x)

$\ln (y) = x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$

ln (y) = x^{\frac{1}{2}} ln (x)

$\ln (y) = x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$

Этап 3

Продифференцируем выражение, используя цепное правило, учитывая, что

y

$y$ — функция от

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем левую часть

ln (y)

$\ln (y)$ , используя цепное правило.

$\frac{y'}{y} = x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$

Этап 3.2

Продифференцируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Дифференцируем

$x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и

$g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.3

Производная

$\ln (x)$ по

$x$ равна

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Объединим

$x^{\frac{1}{2}}$ и

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.4.2

Перенесем

$x^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней

$b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.5

Умножим

$x$ на

$x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Умножим

$x$ на

$x^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1.1

Возведем

$x$ в степень

$1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.5.1.2

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.5.2

Запишем

$1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.5.4

Вычтем

$1$ из

$2$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 3.2.7

Чтобы записать

$- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 3.2.8

Объединим

$- 1$ и

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 3.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 3.2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.1

Умножим

$- 1$ на

$2$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 3.2.10.2

Вычтем

$2$ из

$1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 3.2.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 3.2.12

Объединим

$\frac{1}{2}$ и

$x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 3.2.13

Объединим

$\ln (x)$ и

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 3.2.14

Перенесем

$x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4

Изолируем

$y'$ и заменим исходную функцию на

$y$ в правой части.

$y' = (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\sqrt{x}}$

Этап 5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y' = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\sqrt{x}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\sqrt{x}}$

Этап 5.2

Объединим

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ и

$x^{\sqrt{x}}$ .

$y' = \frac{x^{\sqrt{x}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\sqrt{x}}$

Этап 5.3

Объединим

$\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и

$x^{\sqrt{x}}$ .

$y' = \frac{x^{\sqrt{x}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель

$x^{\frac{1}{2}}$ из

$x^{\sqrt{x}}$ .

$y' = \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Умножим на

$1$ .

$y' = \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.4.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{1} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.4.2.4

Разделим

$x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}$ на

$1$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель

$x^{\frac{1}{2}}$ из

$\ln (x) x^{\sqrt{x}}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.4.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.1

Вынесем множитель

$x^{\frac{1}{2}}$ из

$2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Этап 5.4.4.2

Сократим общий множитель.

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Этап 5.4.4.3

Перепишем это выражение.

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 5.4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.1

Чтобы записать

$\sqrt{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{2}{2}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 5.4.5.2

Объединим

$\sqrt{x}$ и

$\frac{2}{2}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\frac{\sqrt{x} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 5.4.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - 1}{2}}}{2}$

Этап 5.4.5.4

Перенесем

$2$ влево от

$\sqrt{x}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Этап 5.5

Чтобы записать

$x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{2}{2}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Этап 5.6

Объединим

$x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}$ и

$\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{\ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Этап 5.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} \cdot 2 + \ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Этап 5.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt{x}$ в виде

$x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \cdot 2 + \ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Этап 5.8.2

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt{x}$ в виде

$x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \cdot 2 + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Этап 5.8.3

Перенесем

$2$ влево от

$x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{2 \cdot x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Этап 5.8.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.1

Чтобы записать

$x^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{2 x^{x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Этап 5.8.4.2

Объединим

$x^{\frac{1}{2}}$ и

$\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{2 x^{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Этап 5.8.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{2 x^{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - 1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Этап 5.8.4.4

Перенесем

$2$ влево от

$x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Этап 5.8.5

Вынесем множитель

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ из

$2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.5.1

Изменим порядок

$\ln (x)$ и

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ .

$y' = \frac{2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \ln (x)}{2}$

Этап 5.8.5.2

Вынесем множитель

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ из

$2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ .

$y' = \frac{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \ln (x)}{2}$

Этап 5.8.5.3

Вынесем множитель

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ из

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \ln (x)$ .

$y' = \frac{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (\ln (x))}{2}$

Этап 5.8.5.4

Вынесем множитель

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ из

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (\ln (x))$ .

$y' = \frac{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (2 + \ln (x))}{2}$

Введите СВОЮ задачу