Математический анализ Примеры

y = x^{4} + 8

$y = x^{4} + 8$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{4} + 8)

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{4} + 8)$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

1

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная

x^{4} + 8

$x^{4} + 8$ по

y

$y$ имеет вид

\frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [8]

$\frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [8]$ .

\frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [8]

$\frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [8]$

Этап 3.2

Найдем значение

\frac{d}{d y} [x^{4}]

$\frac{d}{d y} [x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что

\frac{d}{d y} [f (g (y))]

$\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид

f' (g (y)) g' (y)

$f' (g (y)) g' (y)$ , где

f (y) = y^{4}

$f (y) = y^{4}$ и

g (y) = x

$g (y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим

u

$u$ как

x

$x$ .

\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [8]

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [8]$

Этап 3.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d u} [u^{n}]

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид

n u^{n - 1}

$n u^{n - 1}$ , где

n = 4

$n = 4$ .

4 u^{3} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [8]

$4 u^{3} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [8]$

Этап 3.2.1.3

Заменим все вхождения

u

$u$ на

x

$x$ .

4 x^{3} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [8]

$4 x^{3} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [8]$

4 x^{3} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [8]

$4 x^{3} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [8]$

Этап 3.2.2

Перепишем

\frac{d}{d y} [x]

$\frac{d}{d y} [x]$ в виде

x'

$x'$ .

4 x^{3} x' + \frac{d}{d y} [8]

$4 x^{3} x' + \frac{d}{d y} [8]$

4 x^{3} x' + \frac{d}{d y} [8]

$4 x^{3} x' + \frac{d}{d y} [8]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку

8

$8$ является константой относительно

y

$y$ , производная

8

$8$ относительно

y

$y$ равна

0

$0$ .

4 x^{3} x' + 0

$4 x^{3} x' + 0$

Этап 3.3.2

Добавим

4 x^{3} x'

$4 x^{3} x'$ и

0

$0$ .

4 x^{3} x'

$4 x^{3} x'$

4 x^{3} x'

$4 x^{3} x'$

4 x^{3} x'

$4 x^{3} x'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

1 = 4 x^{3} x'

$1 = 4 x^{3} x'$

Этап 5

Решим относительно

x'

$x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде

4 x^{3} x' = 1

$4 x^{3} x' = 1$ .

4 x^{3} x' = 1

$4 x^{3} x' = 1$

Этап 5.2

Разделим каждый член

4 x^{3} x' = 1

$4 x^{3} x' = 1$ на

4 x^{3}

$4 x^{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член

4 x^{3} x' = 1

$4 x^{3} x' = 1$ на

4 x^{3}

$4 x^{3}$ .

\frac{4 x^{3} x'}{4 x^{3}} = \frac{1}{4 x^{3}}

$\frac{4 x^{3} x'}{4 x^{3}} = \frac{1}{4 x^{3}}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель

4

$4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{3} x'}{4 x^{3}} = \frac{1}{4 x^{3}}$

Этап 5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{3} x'}{x^{3}} = \frac{1}{4 x^{3}}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель

$x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{3} x'}{x^{3}} = \frac{1}{4 x^{3}}$

Этап 5.2.2.2.2

Разделим

$x'$ на

$1$ .

$x' = \frac{1}{4 x^{3}}$

Этап 6

Заменим

$x'$ на

$\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{4 x^{3}}$

Введите СВОЮ задачу