Математический анализ Примеры

$x^{2} + y^{2} = 25$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d y} (25)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{2}$ и $g (y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$2 x x' + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x x' + 2 y$

Этап 3

Поскольку $25$ является константой относительно $y$ , производная $25$ относительно $y$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 x x' + 2 y = 0$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $2 y$ из обеих частей уравнения.

$2 x x' = - 2 y$

Этап 5.2

Разделим каждый член $2 x x' = - 2 y$ на $2 x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $2 x x' = - 2 y$ на $2 x$ .

$\frac{2 x x'}{2 x} = \frac{- 2 y}{2 x}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x x'}{2 x} = \frac{- 2 y}{2 x}$

Этап 5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x x'}{x} = \frac{- 2 y}{2 x}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x x'}{x} = \frac{- 2 y}{2 x}$

Этап 5.2.2.2.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{- 2 y}{2 x}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y$ .

$x' = \frac{2 (- y)}{2 x}$

Этап 5.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$x' = \frac{2 (- y)}{2 (x)}$

Этап 5.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x' = \frac{2 (- y)}{2 x}$

Этап 5.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x' = \frac{- y}{x}$

Этап 5.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{y}{x}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{y}{x}$

Введите СВОЮ задачу