Математический анализ Примеры

$x^{2} y + y^{4} = 4 + 2 x$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (x^{2} y + y^{4}) = \frac{d}{d y} (4 + 2 x)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} y + y^{4}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = x^{2}$ и $g (y) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{2}$ и $g (y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 u \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Этап 2.2.4

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Этап 2.2.5

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Этап 2.2.6

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$x^{2} + 2 y x x' + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$x^{2} + 2 y x x' + 4 y^{3}$

Этап 2.3.2

Изменим порядок членов.

$4 y^{3} + x^{2} + 2 x y x'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $4 + 2 x$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [2 x]$ .

$\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Этап 3.1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $y$ , производная $4$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [2 x]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 x$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [x]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d y} [x]$

Этап 3.2.2

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$0 + 2 x'$

Этап 3.3

Добавим $0$ и $2 x'$ .

$2 x'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$4 y^{3} + x^{2} + 2 x y x' = 2 x'$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $2 x'$ из обеих частей уравнения.

$4 y^{3} + x^{2} + 2 x y x' - 2 x' = 0$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $x'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $4 y^{3}$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 2 x y x' - 2 x' = - 4 y^{3}$

Этап 5.2.2

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x y x' - 2 x' = - 4 y^{3} - x^{2}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $2 x'$ из $2 x y x' - 2 x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $2 x'$ из $2 x y x'$ .

$2 x' (x y) - 2 x' = - 4 y^{3} - x^{2}$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $2 x'$ из $- 2 x'$ .

$2 x' (x y) + 2 x' \cdot - 1 = - 4 y^{3} - x^{2}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $2 x'$ из $2 x' (x y) + 2 x' \cdot - 1$ .

$2 x' (x y - 1) = - 4 y^{3} - x^{2}$

Этап 5.4

Разделим каждый член $2 x' (x y - 1) = - 4 y^{3} - x^{2}$ на $2 (x y - 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $2 x' (x y - 1) = - 4 y^{3} - x^{2}$ на $2 (x y - 1)$ .

$\frac{2 x' (x y - 1)}{2 (x y - 1)} = \frac{- 4 y^{3}}{2 (x y - 1)} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x' (x y - 1)}{2 (x y - 1)} = \frac{- 4 y^{3}}{2 (x y - 1)} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- 4 y^{3}}{2 (x y - 1)} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель $x y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- 4 y^{3}}{2 (x y - 1)} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.4.2.2.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{- 4 y^{3}}{2 (x y - 1)} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 y^{3}$ .

$x' = \frac{2 (- 2 y^{3})}{2 (x y - 1)} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.4.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x' = \frac{2 (- 2 y^{3})}{2 (x y - 1)} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.4.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x' = \frac{- 2 y^{3}}{x y - 1} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.4.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x y - 1} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.4.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x y - 1} - \frac{x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.4.3.2

Чтобы записать $- \frac{2 y^{3}}{x y - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x y - 1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.4.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x y - 1) \cdot 2$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1

Умножим $\frac{2 y^{3}}{x y - 1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$x' = - \frac{2 y^{3} \cdot 2}{(x y - 1) \cdot 2} - \frac{x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.4.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(x y - 1) \cdot 2$ .

$x' = - \frac{2 y^{3} \cdot 2}{2 (x y - 1)} - \frac{x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.4.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x' = \frac{- 2 y^{3} \cdot 2 - x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.4.3.5

Умножим $2$ на $- 2$ .

$x' = \frac{- 4 y^{3} - x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.4.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 y^{3}$ .

$x' = \frac{- (4 y^{3}) - x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.4.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$x' = \frac{- (4 y^{3}) - (x^{2})}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.4.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 y^{3}) - (x^{2})$ .

$x' = \frac{- (4 y^{3} + x^{2})}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.4.3.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.9.1

Перепишем $- (4 y^{3} + x^{2})$ в виде $- 1 (4 y^{3} + x^{2})$ .

$x' = \frac{- 1 (4 y^{3} + x^{2})}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.4.3.9.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{4 y^{3} + x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{4 y^{3} + x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Введите СВОЮ задачу