Математический анализ Примеры

x^{2} y + y^{4} = 4 + 2 x

$x^{2} y + y^{4} = 4 + 2 x$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

\frac{d}{d y} (x^{2} y + y^{4}) = \frac{d}{d y} (4 + 2 x)

$\frac{d}{d y} (x^{2} y + y^{4}) = \frac{d}{d y} (4 + 2 x)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная

x^{2} y + y^{4}

$x^{2} y + y^{4}$ по

y

$y$ имеет вид

\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y^{4}]

$\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y^{4}]

$\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Этап 2.2

Найдем значение

\frac{d}{d y} [x^{2} y]

$\frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что

\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]

$\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид

f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]

$f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где

f (y) = x^{2}

$f (y) = x^{2}$ и

g (y) = y

$g (y) = y$ .

x^{2} \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{4}]

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

x^{2} \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{4}]

$x^{2} \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что

\frac{d}{d y} [f (g (y))]

$\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид

$f' (g (y)) g' (y)$ , где

$f (y) = y^{2}$ и

$g (y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим

$u$ как

$x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид

$n u^{n - 1}$ , где

$n = 2$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 u \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения

$u$ на

$x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Этап 2.2.4

Перепишем

$\frac{d}{d y} [x]$ в виде

$x'$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Этап 2.2.5

Умножим

$x^{2}$ на

$1$ .

$x^{2} + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Этап 2.2.6

Перенесем

$2$ влево от

$y$ .

$x^{2} + 2 y x x' + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид

$n y^{n - 1}$ , где

$n = 4$ .

$x^{2} + 2 y x x' + 4 y^{3}$

Этап 2.3.2

Изменим порядок членов.

$4 y^{3} + x^{2} + 2 x y x'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная

$4 + 2 x$ по

$y$ имеет вид

$\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [2 x]$ .

$\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Этап 3.1.2

Поскольку

$4$ является константой относительно

$y$ , производная

$4$ относительно

$y$ равна

$0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [2 x]$

Этап 3.2

Найдем значение

$\frac{d}{d y} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку

$2$ является константой относительно

$y$ , производная

$2 x$ по

$y$ равна

$2 \frac{d}{d y} [x]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d y} [x]$

Этап 3.2.2

Перепишем

$\frac{d}{d y} [x]$ в виде

$x'$ .

$0 + 2 x'$

Этап 3.3

Добавим

$0$ и

$2 x'$ .

$2 x'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$4 y^{3} + x^{2} + 2 x y x' = 2 x'$

Этап 5

Решим относительно

$x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем

$2 x'$ из обеих частей уравнения.

$4 y^{3} + x^{2} + 2 x y x' - 2 x' = 0$

Этап 5.2

Перенесем все члены без

$x'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем

$4 y^{3}$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 2 x y x' - 2 x' = - 4 y^{3}$

Этап 5.2.2

Вычтем

$x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x y x' - 2 x' = - 4 y^{3} - x^{2}$

Этап 5.3

Вынесем множитель

$2 x'$ из

$2 x y x' - 2 x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель

$2 x'$ из

$2 x y x'$ .

$2 x' (x y) - 2 x' = - 4 y^{3} - x^{2}$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель

$2 x'$ из

$- 2 x'$ .

$2 x' (x y) + 2 x' \cdot - 1 = - 4 y^{3} - x^{2}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель

$2 x'$ из

$2 x' (x y) + 2 x' \cdot - 1$ .

$2 x' (x y - 1) = - 4 y^{3} - x^{2}$

Этап 5.4

Разделим каждый член

$2 x' (x y - 1) = - 4 y^{3} - x^{2}$ на

$2 (x y - 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член

$2 x' (x y - 1) = - 4 y^{3} - x^{2}$ на

$2 (x y - 1)$ .

$\frac{2 x' (x y - 1)}{2 (x y - 1)} = \frac{- 4 y^{3}}{2 (x y - 1)} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x' (x y - 1)}{2 (x y - 1)} = \frac{- 4 y^{3}}{2 (x y - 1)} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- 4 y^{3}}{2 (x y - 1)} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель

$x y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- 4 y^{3}}{2 (x y - 1)} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.4.2.2.2

Разделим

$x'$ на

$1$ .

$x' = \frac{- 4 y^{3}}{2 (x y - 1)} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Сократим общий множитель

$- 4$ и

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1.1

Вынесем множитель

$2$ из

$- 4 y^{3}$ .

$x' = \frac{2 (- 2 y^{3})}{2 (x y - 1)} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.4.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x' = \frac{2 (- 2 y^{3})}{2 (x y - 1)} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.4.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x' = \frac{- 2 y^{3}}{x y - 1} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.4.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x y - 1} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.4.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x y - 1} - \frac{x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.4.3.2

Чтобы записать

$- \frac{2 y^{3}}{x y - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{2}{2}$ .

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x y - 1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.4.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем

$(x y - 1) \cdot 2$ , умножив на подходящий множитель

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1

Умножим

$\frac{2 y^{3}}{x y - 1}$ на

$\frac{2}{2}$ .

$x' = - \frac{2 y^{3} \cdot 2}{(x y - 1) \cdot 2} - \frac{x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.4.3.3.2

Изменим порядок множителей в

$(x y - 1) \cdot 2$ .

$x' = - \frac{2 y^{3} \cdot 2}{2 (x y - 1)} - \frac{x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.4.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x' = \frac{- 2 y^{3} \cdot 2 - x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.4.3.5

Умножим

$2$ на

$- 2$ .

$x' = \frac{- 4 y^{3} - x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.4.3.6

Вынесем множитель

$- 1$ из

$- 4 y^{3}$ .

$x' = \frac{- (4 y^{3}) - x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.4.3.7

Вынесем множитель

$- 1$ из

$- x^{2}$ .

$x' = \frac{- (4 y^{3}) - (x^{2})}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.4.3.8

Вынесем множитель

$- 1$ из

$- (4 y^{3}) - (x^{2})$ .

$x' = \frac{- (4 y^{3} + x^{2})}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.4.3.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.9.1

Перепишем

$- (4 y^{3} + x^{2})$ в виде

$- 1 (4 y^{3} + x^{2})$ .

$x' = \frac{- 1 (4 y^{3} + x^{2})}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.4.3.9.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{4 y^{3} + x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Этап 6

Заменим

$x'$ на

$\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{4 y^{3} + x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Введите СВОЮ задачу