Математический анализ Примеры

x^{3} + y^{3} = 3 x y

$x^{3} + y^{3} = 3 x y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (3 x y)

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (3 x y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная

x^{3} + y^{3}

$x^{3} + y^{3}$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 3

$n = 3$ .

3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение

\frac{d}{d x} [y^{3}]

$\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид

$f' (g (x)) g' (x)$ , где

$f (x) = x^{3}$ и

$g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим

$u$ как

$y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид

$n u^{n - 1}$ , где

$n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.1.3

Заменим все вхождения

$u$ на

$y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.2

Перепишем

$\frac{d}{d x} [y]$ в виде

$y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку

$3$ является константой относительно

$x$ , производная

$3 x y$ по

$x$ равна

$3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где

$f (x) = x$ и

$g (x) = y$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Перепишем

$\frac{d}{d x} [y]$ в виде

$y'$ .

$3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = 1$ .

$3 (x y' + y \cdot 1)$

Этап 3.5

Умножим

$y$ на

$1$ .

$3 (x y' + y)$

Этап 3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x y' + 3 y$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 3 x y' + 3 y$

Этап 5

Решим относительно

$y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем

$3 x y'$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 3 x y' = 3 y$

Этап 5.2

Вычтем

$3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$3 y^{2} y' - 3 x y' = 3 y - 3 x^{2}$

Этап 5.3

Вынесем множитель

$3 y'$ из

$3 y^{2} y' - 3 x y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель

$3 y'$ из

$3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 3 x y' = 3 y - 3 x^{2}$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель

$3 y'$ из

$- 3 x y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' (- x) = 3 y - 3 x^{2}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель

$3 y'$ из

$3 y' y^{2} + 3 y' (- x)$ .

$3 y' (y^{2} - x) = 3 y - 3 x^{2}$

Этап 5.4

Разделим каждый член

$3 y' (y^{2} - x) = 3 y - 3 x^{2}$ на

$3 (y^{2} - x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член

$3 y' (y^{2} - x) = 3 y - 3 x^{2}$ на

$3 (y^{2} - x)$ .

$\frac{3 y' (y^{2} - x)}{3 (y^{2} - x)} = \frac{3 y}{3 (y^{2} - x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - x)}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y' (y^{2} - x)}{3 (y^{2} - x)} = \frac{3 y}{3 (y^{2} - x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - x)}$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (y^{2} - x)}{y^{2} - x} = \frac{3 y}{3 (y^{2} - x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - x)}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель

$y^{2} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (y^{2} - x)}{y^{2} - x} = \frac{3 y}{3 (y^{2} - x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - x)}$

Этап 5.4.2.2.2

Разделим

$y'$ на

$1$ .

$y' = \frac{3 y}{3 (y^{2} - x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - x)}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Сократим общий множитель

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{3 y}{3 (y^{2} - x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - x)}$

Этап 5.4.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{y}{y^{2} - x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - x)}$

Этап 5.4.3.1.2

Сократим общий множитель

$- 3$ и

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.2.1

Вынесем множитель

$3$ из

$- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{y}{y^{2} - x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - x)}$

Этап 5.4.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{y}{y^{2} - x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - x)}$

Этап 5.4.3.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{y}{y^{2} - x} + \frac{- x^{2}}{y^{2} - x}$

Этап 5.4.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{y}{y^{2} - x} - \frac{x^{2}}{y^{2} - x}$

Этап 5.4.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{y - x^{2}}{y^{2} - x}$

Этап 6

Заменим

$y'$ на

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - x^{2}}{y^{2} - x}$

Введите СВОЮ задачу