Математический анализ Примеры

$y = x + 4 x^{2}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x + 4 x^{2})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $x + 4 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$1 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$1 + 4 (2 x)$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $4$ .

$1 + 8 x$

Этап 3.3

Изменим порядок членов.

$8 x + 1$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 8 x + 1$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x + 1$

Этап 6

Примем $\frac{d y}{d x} = 0$ , затем решим относительно $x$ через $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$8 x = - 1$

Этап 6.2

Разделим каждый член $8 x = - 1$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член $8 x = - 1$ на $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}$

Этап 6.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{8}$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{8}$

Этап 7

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{1}{8} + 4 {(- \frac{1}{8})}^{2}$

Этап 7.2

Избавимся от скобок.

$y = (- \frac{1}{8}) + 4 {(- \frac{1}{8})}^{2}$

Этап 7.3

Упростим $(- \frac{1}{8}) + 4 {(- \frac{1}{8})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{8}$ .

$y = - \frac{1}{8} + 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{8})}^{2})$

Этап 7.3.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{8}$ .

$y = - \frac{1}{8} + 4 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{8^{2}})$

Этап 7.3.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$y = - \frac{1}{8} + 4 (1 \frac{1^{2}}{8^{2}})$

Этап 7.3.1.3

Умножим $\frac{1^{2}}{8^{2}}$ на $1$ .

$y = - \frac{1}{8} + 4 \frac{1^{2}}{8^{2}}$

Этап 7.3.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$y = - \frac{1}{8} + 4 \frac{1}{8^{2}}$

Этап 7.3.1.5

Возведем $8$ в степень $2$ .

$y = - \frac{1}{8} + 4 (\frac{1}{64})$

Этап 7.3.1.6

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $64$ .

$y = - \frac{1}{8} + 4 \frac{1}{4 (16)}$

Этап 7.3.1.6.2

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{1}{8} + 4 \frac{1}{4 \cdot 16}$

Этап 7.3.1.6.3

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$

Этап 7.3.2

Чтобы записать $- \frac{1}{8}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{16}$

Этап 7.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $16$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Умножим $\frac{1}{8}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{2}{8 \cdot 2} + \frac{1}{16}$

Этап 7.3.3.2

Умножим $8$ на $2$ .

$y = - \frac{2}{16} + \frac{1}{16}$

Этап 7.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- 2 + 1}{16}$

Этап 7.3.5

Добавим $- 2$ и $1$ .

$y = \frac{- 1}{16}$

Этап 7.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1}{16}$

Этап 8

Найдем точки, в которых $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- \frac{1}{8}, - \frac{1}{16})$

Этап 9

Введите СВОЮ задачу