Математический анализ Примеры

$\frac{x}{x^{2} - 8}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где

$f (x) = x$ и

$g (x) = x^{2} - 8$ .

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 8) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 2.2

Умножим

$x^{2} - 8$ на

$1$ .

$\frac{x^{2} - 8 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 2.3

По правилу суммы производная

$x^{2} - 8$ по

$x$ имеет вид

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{x^{2} - 8 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 8 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 2.5

Поскольку

$- 8$ является константой относительно

$x$ , производная

$- 8$ относительно

$x$ равна

$0$ .

$\frac{x^{2} - 8 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим

$2 x$ и

$0$ .

$\frac{x^{2} - 8 - x (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 2.6.2

Умножим

$2$ на

$- 1$ .

$\frac{x^{2} - 8 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 3

Возведем

$x$ в степень

$1$ .

$\frac{x^{2} - 8 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 4

Возведем

$x$ в степень

$1$ .

$\frac{x^{2} - 8 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 5

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{2} - 8 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 6

Добавим

$1$ и

$1$ .

$\frac{x^{2} - 8 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 7

Вычтем

$2 x^{2}$ из

$x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 8}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель

$- 1$ из

$- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - 8}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 8.2

Перепишем

$- 8$ в виде

$- 1 (8)$ .

$\frac{- (x^{2}) - 1 (8)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 8.3

Вынесем множитель

$- 1$ из

$- (x^{2}) - 1 (8)$ .

$\frac{- (x^{2} + 8)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 8.4

Перепишем

$- (x^{2} + 8)$ в виде

$- 1 (x^{2} + 8)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + 8)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Этап 8.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{2} + 8}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Введите СВОЮ задачу