Математический анализ Примеры

L (x) = x^{2}

$L (x) = x^{2}$

Этап 1

Используем формулу для коэффициента Джини

G = 2 \int_{0}^{1} x - L (x) d x

$G = 2 \int_{0}^{1} x - L (x) d x$ .

Этап 2

Подставим

x^{2}

$x^{2}$ вместо

L (x)

$L (x)$ .

G = 2 \int_{0}^{1} x - x^{2} d x

$G = 2 \int_{0}^{1} x - x^{2} d x$

Этап 3

Найдем значение

2 \int_{0}^{1} x - x^{2} d x

$2 \int_{0}^{1} x - x^{2} d x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

G = 2 (\int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} - x^{2} d x)

$G = 2 (\int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} - x^{2} d x)$

Этап 3.2

По правилу степени интеграл

x

$x$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{1}{2} x^{2}

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

G = 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{2} d x)

$G = 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{2} d x)$

Этап 3.3

Объединим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ и

x^{2}

$x^{2}$ .

G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{2} d x)

$G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{2} d x)$

Этап 3.4

Поскольку

- 1

$- 1$ — константа по отношению к

x

$x$ , вынесем

- 1

$- 1$ из-под знака интеграла.

G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{2} d x)

$G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Этап 3.5

По правилу степени интеграл

x^{2}

$x^{2}$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{1}{3} x^{3}

$\frac{1}{3} x^{3}$ .

G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}))

$G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}))$

Этап 3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Объединим

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ и

x^{3}

$x^{3}$ .

G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))

$G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

Этап 3.6.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Найдем значение

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$ в

1

$1$ и в

0

$0$ .

G = 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))

$G = 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

Этап 3.6.2.2

Найдем значение

\frac{x^{3}}{3}

$\frac{x^{3}}{3}$ в

1

$1$ и в

0

$0$ .

G = 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))

$G = 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 3.6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 3.6.2.3.2

Возведение

0

$0$ в любую положительную степень дает

0

$0$ .

G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 3.6.2.3.3

Сократим общий множитель

0

$0$ и

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.3.3.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

0

$0$ .

G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 3.6.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.3.3.2.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

2

$2$ .

G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 3.6.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 3.6.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 3.6.2.3.3.2.4

Разделим

0

$0$ на

1

$1$ .

G = 2 (\frac{1}{2} - 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))

$G = 2 (\frac{1}{2} - 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

G = 2 (\frac{1}{2} - 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))

$G = 2 (\frac{1}{2} - 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

G = 2 (\frac{1}{2} - 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))

$G = 2 (\frac{1}{2} - 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 3.6.2.3.4

Умножим

- 1

$- 1$ на

0

$0$ .

G = 2 (\frac{1}{2} + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))

$G = 2 (\frac{1}{2} + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 3.6.2.3.5

Добавим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ и

0

$0$ .

G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 3.6.2.3.6

Единица в любой степени равна единице.

G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}))

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 3.6.2.3.7

Возведение

0

$0$ в любую положительную степень дает

0

$0$ .

G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}))

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}))$

Этап 3.6.2.3.8

Сократим общий множитель

0

$0$ и

3

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.3.8.1

Вынесем множитель

3

$3$ из

0

$0$ .

G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}))

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Этап 3.6.2.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.3.8.2.1

Вынесем множитель

3

$3$ из

3

$3$ .

G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Этап 3.6.2.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Этап 3.6.2.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}))

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}))$

Этап 3.6.2.3.8.2.4

Разделим

0

$0$ на

1

$1$ .

G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - 0))

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - 0))$

G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - 0))

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - 0))$

G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - 0))

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - 0))$

Этап 3.6.2.3.9

Умножим

- 1

$- 1$ на

0

$0$ .

G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} + 0))

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} + 0))$

Этап 3.6.2.3.10

Добавим

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ и

0

$0$ .

G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{3})

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{3})$

Этап 3.6.2.3.11

Чтобы записать

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

G = 2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3})

$G = 2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3})$

Этап 3.6.2.3.12

Чтобы записать

- \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

G = 2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2})

$G = 2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2})$

Этап 3.6.2.3.13

Запишем каждое выражение с общим знаменателем

6

$6$ , умножив на подходящий множитель

1

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.3.13.1

Умножим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ на

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

G = 2 (\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2})

$G = 2 (\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2})$

Этап 3.6.2.3.13.2

Умножим

2

$2$ на

3

$3$ .

G = 2 (\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2})

$G = 2 (\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2})$

Этап 3.6.2.3.13.3

Умножим

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ на

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

G = 2 (\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2})

$G = 2 (\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2})$

Этап 3.6.2.3.13.4

Умножим

3

$3$ на

2

$2$ .

G = 2 (\frac{3}{6} - \frac{2}{6})

$G = 2 (\frac{3}{6} - \frac{2}{6})$

G = 2 (\frac{3}{6} - \frac{2}{6})

$G = 2 (\frac{3}{6} - \frac{2}{6})$

Этап 3.6.2.3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

G = 2 \frac{3 - 2}{6}

$G = 2 \frac{3 - 2}{6}$

Этап 3.6.2.3.15

Вычтем

2

$2$ из

3

$3$ .

G = 2 (\frac{1}{6})

$G = 2 (\frac{1}{6})$

Этап 3.6.2.3.16

Объединим

2

$2$ и

\frac{1}{6}

$\frac{1}{6}$ .

G = \frac{2}{6}

$G = \frac{2}{6}$

Этап 3.6.2.3.17

Сократим общий множитель

2

$2$ и

6

$6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.3.17.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

2

$2$ .

G = \frac{2 (1)}{6}

$G = \frac{2 (1)}{6}$

Этап 3.6.2.3.17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.3.17.2.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

6

$6$ .

G = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}

$G = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.2.3.17.2.2

Сократим общий множитель.

G = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}

$G = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.2.3.17.2.3

Перепишем это выражение.

G = \frac{1}{3}

$G = \frac{1}{3}$

G = \frac{1}{3}

$G = \frac{1}{3}$

G = \frac{1}{3}

$G = \frac{1}{3}$

G = \frac{1}{3}

$G = \frac{1}{3}$

G = \frac{1}{3}

$G = \frac{1}{3}$

G = \frac{1}{3}

$G = \frac{1}{3}$

G = \frac{1}{3}

$G = \frac{1}{3}$

Этап 4

Преобразуем в десятичное число.

G = 0. ¯ 3

$G = 0.\overline{3}$

Введите СВОЮ задачу