Математический анализ Примеры

$L (x) = x^{2}$

Этап 1

Используем формулу для коэффициента Джини $G = 2 \int_{0}^{1} x - L (x) d x$ .

Этап 2

Подставим $x^{2}$ вместо $L (x)$ .

$G = 2 \int_{0}^{1} x - x^{2} d x$

Этап 3

Найдем значение $2 \int_{0}^{1} x - x^{2} d x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$G = 2 (\int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} - x^{2} d x)$

Этап 3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{2} d x)$

Этап 3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{2} d x)$

Этап 3.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Этап 3.5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}))$

Этап 3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

Этап 3.6.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $0$ .

$G = 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

Этап 3.6.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $0$ .

$G = 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 3.6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 3.6.2.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 3.6.2.3.3

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 3.6.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 3.6.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 3.6.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 3.6.2.3.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} - 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 3.6.2.3.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 3.6.2.3.5

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 3.6.2.3.6

Единица в любой степени равна единице.

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 3.6.2.3.7

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}))$

Этап 3.6.2.3.8

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.3.8.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Этап 3.6.2.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.3.8.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Этап 3.6.2.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Этап 3.6.2.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}))$

Этап 3.6.2.3.8.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - 0))$

Этап 3.6.2.3.9

Умножим $- 1$ на $0$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} + 0))$

Этап 3.6.2.3.10

Добавим $\frac{1}{3}$ и $0$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{3})$

Этап 3.6.2.3.11

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3})$

Этап 3.6.2.3.12

Чтобы записать $- \frac{1}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2})$

Этап 3.6.2.3.13

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.3.13.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$G = 2 (\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2})$

Этап 3.6.2.3.13.2

Умножим $2$ на $3$ .

$G = 2 (\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2})$

Этап 3.6.2.3.13.3

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$G = 2 (\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2})$

Этап 3.6.2.3.13.4

Умножим $3$ на $2$ .

$G = 2 (\frac{3}{6} - \frac{2}{6})$

Этап 3.6.2.3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$G = 2 \frac{3 - 2}{6}$

Этап 3.6.2.3.15

Вычтем $2$ из $3$ .

$G = 2 (\frac{1}{6})$

Этап 3.6.2.3.16

Объединим $2$ и $\frac{1}{6}$ .

$G = \frac{2}{6}$

Этап 3.6.2.3.17

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.3.17.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$G = \frac{2 (1)}{6}$

Этап 3.6.2.3.17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.3.17.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$G = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.2.3.17.2.2

Сократим общий множитель.

$G = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.2.3.17.2.3

Перепишем это выражение.

$G = \frac{1}{3}$

Этап 4

Преобразуем в десятичное число.

$G = 0.\overline{3}$

Введите СВОЮ задачу