Математический анализ Примеры

y = x^{2}

$y = x^{2}$ ,

y = x

$y = x$

Этап 1

Чтобы найти объем пространственной фигуры, сначала определим площадь каждого среза, а затем проинтегрируем по всему диапазону. Каждый срез имеет форму круга с радиусом

f (x)

$f (x)$ и площадью

A = π r^{2}

$A = π r^{2}$ .

V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ , где

f (x) = x

$f (x) = x$ и

g (x) = x^{2}

$g (x) = x^{2}$

Этап 2

Перемножим экспоненты в

{(x^{2})}^{2}

${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени и перемножим показатели,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

V = x^{2} - x^{2 \cdot 2}

$V = x^{2} - x^{2 \cdot 2}$

Этап 2.2

Умножим

2

$2$ на

2

$2$ .

V = x^{2} - x^{4}

$V = x^{2} - x^{4}$

V = x^{2} - x^{4}

$V = x^{2} - x^{4}$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

V = π (\int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)

$V = π (\int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)$

Этап 4

По правилу степени интеграл

x^{2}

$x^{2}$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{1}{3} x^{3}

$\frac{1}{3} x^{3}$ .

V = π (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)

$V = π (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)$

Этап 5

Объединим

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ и

x^{3}

$x^{3}$ .

V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)$

Этап 6

Поскольку

- 1

$- 1$ — константа по отношению к

x

$x$ , вынесем

- 1

$- 1$ из-под знака интеграла.

V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{4} d x)

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{4} d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл

x^{4}

$x^{4}$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{1}{5} x^{5}

$\frac{1}{5} x^{5}$ .

V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{1}))

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{1}))$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ и

x^{5}

$x^{5}$ .

V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение

\frac{x^{3}}{3}

$\frac{x^{3}}{3}$ в

1

$1$ и в

0

$0$ .

V = π ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))

$V = π ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))$

Этап 8.2.2

Найдем значение

\frac{x^{5}}{5}

$\frac{x^{5}}{5}$ в

1

$1$ и в

0

$0$ .

V = π (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

V = π (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 8.2.3.2

Возведение

0

$0$ в любую положительную степень дает

0

$0$ .

V = π (\frac{1}{3} - \frac{0}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{0}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 8.2.3.3

Сократим общий множитель

0

$0$ и

3

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.3.1

Вынесем множитель

3

$3$ из

0

$0$ .

V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 8.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.3.2.1

Вынесем множитель

3

$3$ из

3

$3$ .

V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 8.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 8.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

V = π (\frac{1}{3} - \frac{0}{1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{0}{1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 8.2.3.3.2.4

Разделим

0

$0$ на

1

$1$ .

V = π (\frac{1}{3} - 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

V = π (\frac{1}{3} - 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

V = π (\frac{1}{3} - 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 8.2.3.4

Умножим

- 1

$- 1$ на

0

$0$ .

V = π (\frac{1}{3} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 8.2.3.5

Добавим

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ и

0

$0$ .

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 8.2.3.6

Единица в любой степени равна единице.

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 8.2.3.7

Возведение

0

$0$ в любую положительную степень дает

0

$0$ .

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0}{5}))$

Этап 8.2.3.8

Сократим общий множитель

0

$0$ и

5

$5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.8.1

Вынесем множитель

5

$5$ из

0

$0$ .

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 (0)}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 (0)}{5}))$

Этап 8.2.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.8.2.1

Вынесем множитель

5

$5$ из

5

$5$ .

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Этап 8.2.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Этап 8.2.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0}{1}))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0}{1}))$

Этап 8.2.3.8.2.4

Разделим

0

$0$ на

1

$1$ .

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - 0))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - 0))$

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - 0))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - 0))$

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - 0))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - 0))$

Этап 8.2.3.9

Умножим

- 1

$- 1$ на

0

$0$ .

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} + 0))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} + 0))$

Этап 8.2.3.10

Добавим

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ и

0

$0$ .

V = π (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$

Этап 8.2.3.11

Чтобы записать

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{5}{5}

$\frac{5}{5}$ .

V = π (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5})

$V = π (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5})$

Этап 8.2.3.12

Чтобы записать

- \frac{1}{5}

$- \frac{1}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

V = π (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})

$V = π (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 8.2.3.13

Запишем каждое выражение с общим знаменателем

15

$15$ , умножив на подходящий множитель

1

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.13.1

Умножим

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ на

\frac{5}{5}

$\frac{5}{5}$ .

V = π (\frac{5}{3 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})

$V = π (\frac{5}{3 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 8.2.3.13.2

Умножим

3

$3$ на

5

$5$ .

V = π (\frac{5}{15} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 8.2.3.13.3

Умножим

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ на

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{5 \cdot 3})

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{5 \cdot 3})$

Этап 8.2.3.13.4

Умножим

5

$5$ на

3

$3$ .

V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{15})

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{15})$

V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{15})

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{15})$

Этап 8.2.3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

V = π (\frac{5 - 3}{15})

$V = π (\frac{5 - 3}{15})$

Этап 8.2.3.15

Вычтем

3

$3$ из

5

$5$ .

V = π (\frac{2}{15})

$V = π (\frac{2}{15})$

Этап 8.2.3.16

Объединим

π

$π$ и

\frac{2}{15}

$\frac{2}{15}$ .

V = \frac{π \cdot 2}{15}

$V = \frac{π \cdot 2}{15}$

Этап 8.2.3.17

Перенесем

2

$2$ влево от

π

$π$ .

V = \frac{2 π}{15}

$V = \frac{2 π}{15}$

V = \frac{2 π}{15}

$V = \frac{2 π}{15}$

V = \frac{2 π}{15}

$V = \frac{2 π}{15}$

V = \frac{2 π}{15}

$V = \frac{2 π}{15}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

V = \frac{2 π}{15}

$V = \frac{2 π}{15}$

Десятичная форма:

V = 0.41887902 \dots

$V = 0.41887902 \dots$

Этап 10

Введите СВОЮ задачу