Математический анализ Примеры

$y = 4 x - 2$ , $(1, 3)$

Этап 1

Среднее квадратическое значение (ср. кв.) функции $f$ на заданном интервале $[a, b]$ равно квадратному корню из среднеарифметического значения квадратов исходных значений.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Этап 2

Подставим фактические значения в формулу для среднего квадратического функции.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{3 - 1} \cdot (\int_{1}^{3} {(4 x - 2)}^{2} d x)}$

Этап 3

Найдем интеграл.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = 4 x - 2$ . Тогда $d u = 4 d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Пусть $u = 4 x - 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Дифференцируем $4 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Этап 3.1.1.2

По правилу суммы производная $4 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.1.1.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 + 0$

Этап 3.1.1.4.2

Добавим $4$ и $0$ .

$4$

Этап 3.1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 4 x - 2$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 1 - 2$

Этап 3.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Умножим $4$ на $1$ .

$u_{lower} = 4 - 2$

Этап 3.1.3.2

Вычтем $2$ из $4$ .

$u_{lower} = 2$

Этап 3.1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 4 x - 2$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 3 - 2$

Этап 3.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Умножим $4$ на $3$ .

$u_{upper} = 12 - 2$

Этап 3.1.5.2

Вычтем $2$ из $12$ .

$u_{upper} = 10$

Этап 3.1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 10$

Этап 3.1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{2}^{10} u^{2} \frac{1}{4} d u$

Этап 3.2

Объединим $u^{2}$ и $\frac{1}{4}$ .

$\int_{2}^{10} \frac{u^{2}}{4} d u$

Этап 3.3

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int_{2}^{10} u^{2} d u$

Этап 3.4

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{2}^{10}$

Этап 3.5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Найдем значение $\frac{1}{3} u^{3}$ в $10$ и в $2$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 10^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Этап 3.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Возведем $10$ в степень $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 1000 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Этап 3.5.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $1000$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Этап 3.5.2.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8)$

Этап 3.5.2.4

Умножим $8$ на $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - 8 (\frac{1}{3}))$

Этап 3.5.2.5

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} + \frac{- 8}{3})$

Этап 3.5.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{8}{3})$

Этап 3.5.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1000 - 8}{3}$

Этап 3.5.2.8

Вычтем $8$ из $1000$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{992}{3}$

Этап 3.5.2.9

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{992}{3}$ .

$\frac{992}{4 \cdot 3}$

Этап 3.5.2.10

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{992}{12}$

Этап 3.5.2.11

Сократим общий множитель $992$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.11.1

Вынесем множитель $4$ из $992$ .

$\frac{4 (248)}{12}$

Этап 3.5.2.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.11.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}$

Этап 3.5.2.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}$

Этап 3.5.2.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{248}{3}$

Этап 4

Упростим формулу среднего квадратического значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{1}{3 - 1}$ на $\frac{248}{3}$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{(3 - 1) \cdot 3}}$

Этап 4.2

Вычтем $1$ из $3$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{2 \cdot 3}}$

Этап 4.3

Сократим выражение $\frac{248}{2 \cdot 3}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $248$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 3$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 (3)}}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}$

Этап 4.3.4

Перепишем это выражение.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{124}{3}}$

Этап 4.4

Перепишем $\sqrt{\frac{124}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}$

Этап 4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Перепишем $124$ в виде $2^{2} \cdot 31$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Вынесем множитель $4$ из $124$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{4 (31)}}{\sqrt{3}}$

Этап 4.5.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 31}}{\sqrt{3}}$

Этап 4.5.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$

Этап 4.6

Умножим $\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 4.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Умножим $\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 4.7.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 4.7.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 4.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 4.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 4.7.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.7.6.5

Найдем экспоненту.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{3 \cdot 31}}{3}$

Этап 4.8.2

Умножим $3$ на $31$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{93}}{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{93}}{3}$

Десятичная форма:

$f_{rms} = 6.42910050 \dots$

Этап 6

Введите СВОЮ задачу