Математический анализ Примеры

y = x - 2

$y = x - 2$ ,

(2, 7)

$(2, 7)$

Этап 1

Среднее квадратическое значение (ср. кв.) функции

f

$f$ на заданном интервале

[a, b]

$[a, b]$ равно квадратному корню из среднеарифметического значения квадратов исходных значений.

f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Этап 2

Подставим фактические значения в формулу для среднего квадратического функции.

f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{7 - 2} \cdot (\int_{2}^{7} {(x - 2)}^{2} d x)}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{7 - 2} \cdot (\int_{2}^{7} {(x - 2)}^{2} d x)}$

Этап 3

Найдем интеграл.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть

u = x - 2

$u = x - 2$ . Тогда

d u = d x

$d u = d x$ . Перепишем, используя

u

$u$ и

d

$d$

u

$u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Пусть

u = x - 2

$u = x - 2$ . Найдем

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Дифференцируем

x - 2

$x - 2$ .

\frac{d}{d x} [x - 2]

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 3.1.1.2

По правилу суммы производная

x - 2

$x - 2$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

1 + \frac{d}{d x} [- 2]

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.1.1.4

Поскольку

- 2

$- 2$ является константой относительно

x

$x$ , производная

- 2

$- 2$ относительно

x

$x$ равна

0

$0$ .

1 + 0

$1 + 0$

Этап 3.1.1.5

Добавим

1

$1$ и

0

$0$ .

1

$1$

1

$1$

Этап 3.1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо

x

$x$ в

u = x - 2

$u = x - 2$ .

u_{lower} = 2 - 2

$u_{lower} = 2 - 2$

Этап 3.1.3

Вычтем

2

$2$ из

2

$2$ .

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

Этап 3.1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо

x

$x$ в

u = x - 2

$u = x - 2$ .

u_{upper} = 7 - 2

$u_{upper} = 7 - 2$

Этап 3.1.5

Вычтем

2

$2$ из

7

$7$ .

u_{upper} = 5

$u_{upper} = 5$

Этап 3.1.6

Значения, найденные для

u_{lower}

$u_{lower}$ и

u_{upper}

$u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

u_{upper} = 5

$u_{upper} = 5$

Этап 3.1.7

Переформулируем задачу, используя

u

$u$ ,

d u

$d u$ и новые пределы интегрирования.

\int_{0}^{5} u^{2} d u

$\int_{0}^{5} u^{2} d u$

\int_{0}^{5} u^{2} d u

$\int_{0}^{5} u^{2} d u$

Этап 3.2

По правилу степени интеграл

u^{2}

$u^{2}$ по

u

$u$ имеет вид

\frac{1}{3} u^{3}

$\frac{1}{3} u^{3}$ .

\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{5}

$\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{5}$

Этап 3.3

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Найдем значение

\frac{1}{3} u^{3}

$\frac{1}{3} u^{3}$ в

5

$5$ и в

0

$0$ .

(\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}

$(\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Этап 3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Возведем

5

$5$ в степень

3

$3$ .

\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}

$\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Этап 3.3.2.2

Объединим

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ и

125

$125$ .

\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}

$\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Этап 3.3.2.3

Возведение

0

$0$ в любую положительную степень дает

0

$0$ .

\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0

$\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0$

Этап 3.3.2.4

Умножим

0

$0$ на

- 1

$- 1$ .

\frac{125}{3} + 0 (\frac{1}{3})

$\frac{125}{3} + 0 (\frac{1}{3})$

Этап 3.3.2.5

Умножим

0

$0$ на

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

\frac{125}{3} + 0

$\frac{125}{3} + 0$

Этап 3.3.2.6

Добавим

\frac{125}{3}

$\frac{125}{3}$ и

0

$0$ .

\frac{125}{3}

$\frac{125}{3}$

\frac{125}{3}

$\frac{125}{3}$

\frac{125}{3}

$\frac{125}{3}$

\frac{125}{3}

$\frac{125}{3}$

Этап 4

Упростим формулу среднего квадратического значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим

\frac{1}{7 - 2}

$\frac{1}{7 - 2}$ на

\frac{125}{3}

$\frac{125}{3}$ .

f_{rms} = \sqrt{\frac{125}{(7 - 2) \cdot 3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{125}{(7 - 2) \cdot 3}}$

Этап 4.2

Вычтем

2

$2$ из

7

$7$ .

f_{rms} = \sqrt{\frac{125}{5 \cdot 3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{125}{5 \cdot 3}}$

Этап 4.3

Сократим выражение

\frac{125}{5 \cdot 3}

$\frac{125}{5 \cdot 3}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель

5

$5$ из

125

$125$ .

f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 3}}$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель

5

$5$ из

5 \cdot 3

$5 \cdot 3$ .

f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 (3)}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 (3)}}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 3}}$

Этап 4.3.4

Перепишем это выражение.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{25}{3}}$

Этап 4.4

Перепишем

$\sqrt{\frac{25}{3}}$ в виде

$\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}$

Этап 4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Перепишем

$25$ в виде

$5^{2}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{3}}$

Этап 4.5.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f_{rms} = \frac{5}{\sqrt{3}}$

Этап 4.6

Умножим

$\frac{5}{\sqrt{3}}$ на

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 4.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Умножим

$\frac{5}{\sqrt{3}}$ на

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 4.7.2

Возведем

$\sqrt{3}$ в степень

$1$ .

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 4.7.3

Возведем

$\sqrt{3}$ в степень

$1$ .

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 4.7.4

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 4.7.5

Добавим

$1$ и

$1$ .

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 4.7.6

Перепишем

${\sqrt{3}}^{2}$ в виде

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.6.1

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt{3}$ в виде

$3^{\frac{1}{2}}$ .

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.7.6.3

Объединим

$\frac{1}{2}$ и

$2$ .

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.7.6.4

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.7.6.5

Найдем экспоненту.

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Десятичная форма:

$f_{rms} = 2.88675134 \dots$

Этап 6

Введите СВОЮ задачу