Математический анализ Примеры

$y = x^{2}$ , $[2, 5]$

Этап 1

Среднее квадратическое значение (ср. кв.) функции $f$ на заданном интервале $[a, b]$ равно квадратному корню из среднеарифметического значения квадратов исходных значений.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Этап 2

Подставим фактические значения в формулу для среднего квадратического функции.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{5 - 2} \cdot (\int_{2}^{5} {(x^{2})}^{2} d x)}$

Этап 3

Найдем интеграл.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{2}^{5} x^{2 \cdot 2} d x$

Этап 3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\int_{2}^{5} x^{4} d x$

Этап 3.2

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{5}]_{2}^{5}$

Этап 3.3

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Найдем значение $\frac{1}{5} x^{5}$ в $5$ и в $2$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 5^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Этап 3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Возведем $5$ в степень $5$ .

$\frac{1}{5} \cdot 3125 - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Этап 3.3.2.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и $3125$ .

$\frac{3125}{5} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Этап 3.3.2.3

Сократим общий множитель $3125$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Вынесем множитель $5$ из $3125$ .

$\frac{5 \cdot 625}{5} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Этап 3.3.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{5 \cdot 625}{5 (1)} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Этап 3.3.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cdot 625}{5 \cdot 1} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Этап 3.3.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{625}{1} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Этап 3.3.2.3.2.4

Разделим $625$ на $1$ .

$625 - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Этап 3.3.2.4

Возведем $2$ в степень $5$ .

$625 - \frac{1}{5} \cdot 32$

Этап 3.3.2.5

Умножим $32$ на $- 1$ .

$625 - 32 (\frac{1}{5})$

Этап 3.3.2.6

Объединим $- 32$ и $\frac{1}{5}$ .

$625 + \frac{- 32}{5}$

Этап 3.3.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$625 - \frac{32}{5}$

Этап 3.3.2.8

Чтобы записать $625$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$625 \cdot \frac{5}{5} - \frac{32}{5}$

Этап 3.3.2.9

Объединим $625$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{625 \cdot 5}{5} - \frac{32}{5}$

Этап 3.3.2.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{625 \cdot 5 - 32}{5}$

Этап 3.3.2.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.11.1

Умножим $625$ на $5$ .

$\frac{3125 - 32}{5}$

Этап 3.3.2.11.2

Вычтем $32$ из $3125$ .

$\frac{3093}{5}$

Этап 4

Упростим формулу среднего квадратического значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{1}{5 - 2}$ на $\frac{3093}{5}$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{3093}{(5 - 2) \cdot 5}}$

Этап 4.2

Вычтем $2$ из $5$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{3093}{3 \cdot 5}}$

Этап 4.3

Сократим выражение $\frac{3093}{3 \cdot 5}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3093$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{3 \cdot 1031}{3 \cdot 5}}$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot 5$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{3 \cdot 1031}{3 (5)}}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{3 \cdot 1031}{3 \cdot 5}}$

Этап 4.3.4

Перепишем это выражение.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1031}{5}}$

Этап 4.4

Перепишем $\sqrt{\frac{1031}{5}}$ в виде $\frac{\sqrt{1031}}{\sqrt{5}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031}}{\sqrt{5}}$

Этап 4.5

Умножим $\frac{\sqrt{1031}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Этап 4.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $\frac{\sqrt{1031}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 4.6.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 4.6.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 4.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 4.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 4.6.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.6.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.6.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.6.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.6.4.1

Сократим общий множитель.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.6.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5}$

Этап 4.6.6.5

Найдем экспоненту.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5}$

Этап 4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031 \cdot 5}}{5}$

Этап 4.7.2

Умножим $1031$ на $5$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{5155}}{5}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$f_{rms} = \frac{\sqrt{5155}}{5}$

Десятичная форма:

$f_{rms} = 14.35966573 \dots$

Этап 6

Введите СВОЮ задачу