Математический анализ Примеры

$y = x - 2$ , $(2, 7)$

Этап 1

Среднее квадратическое значение (ср. кв.) функции $f$ на заданном интервале $[a, b]$ равно квадратному корню из среднеарифметического значения квадратов исходных значений.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Этап 2

Подставим фактические значения в формулу для среднего квадратического функции.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{7 - 2} \cdot (\int_{2}^{7} {(x - 2)}^{2} d x)}$

Этап 3

Найдем интеграл.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = x - 2$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Пусть $u = x - 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Дифференцируем $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 3.1.1.2

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.1.1.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 3.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 3.1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 2$ .

$u_{lower} = 2 - 2$

Этап 3.1.3

Вычтем $2$ из $2$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 3.1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 2$ .

$u_{upper} = 7 - 2$

Этап 3.1.5

Вычтем $2$ из $7$ .

$u_{upper} = 5$

Этап 3.1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5$

Этап 3.1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{5} u^{2} d u$

Этап 3.2

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{5}$

Этап 3.3

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Найдем значение $\frac{1}{3} u^{3}$ в $5$ и в $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Этап 3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Возведем $5$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Этап 3.3.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $125$ .

$\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Этап 3.3.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0$

Этап 3.3.2.4

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{125}{3} + 0 (\frac{1}{3})$

Этап 3.3.2.5

Умножим $0$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{125}{3} + 0$

Этап 3.3.2.6

Добавим $\frac{125}{3}$ и $0$ .

$\frac{125}{3}$

Этап 4

Упростим формулу среднего квадратического значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{1}{7 - 2}$ на $\frac{125}{3}$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{125}{(7 - 2) \cdot 3}}$

Этап 4.2

Вычтем $2$ из $7$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{125}{5 \cdot 3}}$

Этап 4.3

Сократим выражение $\frac{125}{5 \cdot 3}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $5$ из $125$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 3}}$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $5$ из $5 \cdot 3$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 (3)}}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 3}}$

Этап 4.3.4

Перепишем это выражение.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{25}{3}}$

Этап 4.4

Перепишем $\sqrt{\frac{25}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}$

Этап 4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{3}}$

Этап 4.5.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f_{rms} = \frac{5}{\sqrt{3}}$

Этап 4.6

Умножим $\frac{5}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 4.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Умножим $\frac{5}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 4.7.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 4.7.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 4.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 4.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 4.7.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.7.6.5

Найдем экспоненту.

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Десятичная форма:

$f_{rms} = 2.88675134 \dots$

Этап 6

Введите СВОЮ задачу