Математический анализ Примеры

y = 4 x - 2

$y = 4 x - 2$ ,

(1, 3)

$(1, 3)$

Этап 1

Среднее квадратическое значение (ср. кв.) функции

f

$f$ на заданном интервале

[a, b]

$[a, b]$ равно квадратному корню из среднеарифметического значения квадратов исходных значений.

f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Этап 2

Подставим фактические значения в формулу для среднего квадратического функции.

f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{3 - 1} \cdot (\int_{1}^{3} {(4 x - 2)}^{2} d x)}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{3 - 1} \cdot (\int_{1}^{3} {(4 x - 2)}^{2} d x)}$

Этап 3

Найдем интеграл.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть

u = 4 x - 2

$u = 4 x - 2$ . Тогда

d u = 4 d x

$d u = 4 d x$ , следовательно

\frac{1}{4} d u = d x

$\frac{1}{4} d u = d x$ . Перепишем, используя

u

$u$ и

d

$d$

u

$u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Пусть

u = 4 x - 2

$u = 4 x - 2$ . Найдем

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Дифференцируем

4 x - 2

$4 x - 2$ .

\frac{d}{d x} [4 x - 2]

$\frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Этап 3.1.1.2

По правилу суммы производная

4 x - 2

$4 x - 2$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.1.1.3

Найдем значение

\frac{d}{d x} [4 x]

$\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.1

Поскольку

4

$4$ является константой относительно

x

$x$ , производная

4 x

$4 x$ по

x

$x$ равна

4 \frac{d}{d x} [x]

$4 \frac{d}{d x} [x]$ .

4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.1.1.3.3

Умножим

4

$4$ на

1

$1$ .

4 + \frac{d}{d x} [- 2]

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

4 + \frac{d}{d x} [- 2]

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3.1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.4.1

Поскольку

- 2

$- 2$ является константой относительно

x

$x$ , производная

- 2

$- 2$ относительно

x

$x$ равна

0

$0$ .

4 + 0

$4 + 0$

Этап 3.1.1.4.2

Добавим

4

$4$ и

0

$0$ .

4

$4$

4

$4$

4

$4$

Этап 3.1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо

x

$x$ в

u = 4 x - 2

$u = 4 x - 2$ .

u_{lower} = 4 \cdot 1 - 2

$u_{lower} = 4 \cdot 1 - 2$

Этап 3.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Умножим

4

$4$ на

1

$1$ .

u_{lower} = 4 - 2

$u_{lower} = 4 - 2$

Этап 3.1.3.2

Вычтем

2

$2$ из

4

$4$ .

u_{lower} = 2

$u_{lower} = 2$

u_{lower} = 2

$u_{lower} = 2$

Этап 3.1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо

x

$x$ в

u = 4 x - 2

$u = 4 x - 2$ .

u_{upper} = 4 \cdot 3 - 2

$u_{upper} = 4 \cdot 3 - 2$

Этап 3.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Умножим

4

$4$ на

3

$3$ .

u_{upper} = 12 - 2

$u_{upper} = 12 - 2$

Этап 3.1.5.2

Вычтем

2

$2$ из

12

$12$ .

u_{upper} = 10

$u_{upper} = 10$

u_{upper} = 10

$u_{upper} = 10$

Этап 3.1.6

Значения, найденные для

u_{lower}

$u_{lower}$ и

u_{upper}

$u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

u_{lower} = 2

$u_{lower} = 2$

u_{upper} = 10

$u_{upper} = 10$

Этап 3.1.7

Переформулируем задачу, используя

u

$u$ ,

d u

$d u$ и новые пределы интегрирования.

\int_{2}^{10} u^{2} \frac{1}{4} d u

$\int_{2}^{10} u^{2} \frac{1}{4} d u$

\int_{2}^{10} u^{2} \frac{1}{4} d u

$\int_{2}^{10} u^{2} \frac{1}{4} d u$

Этап 3.2

Объединим

u^{2}

$u^{2}$ и

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ .

\int_{2}^{10} \frac{u^{2}}{4} d u

$\int_{2}^{10} \frac{u^{2}}{4} d u$

Этап 3.3

Поскольку

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ — константа по отношению к

u

$u$ , вынесем

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

\frac{1}{4} \int_{2}^{10} u^{2} d u

$\frac{1}{4} \int_{2}^{10} u^{2} d u$

Этап 3.4

По правилу степени интеграл

u^{2}

$u^{2}$ по

u

$u$ имеет вид

\frac{1}{3} u^{3}

$\frac{1}{3} u^{3}$ .

\frac{1}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{2}^{10}

$\frac{1}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{2}^{10}$

Этап 3.5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Найдем значение

\frac{1}{3} u^{3}

$\frac{1}{3} u^{3}$ в

10

$10$ и в

2

$2$ .

\frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 10^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 10^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Этап 3.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Возведем

10

$10$ в степень

3

$3$ .

\frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 1000 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 1000 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Этап 3.5.2.2

Объединим

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ и

1000

$1000$ .

\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Этап 3.5.2.3

Возведем

2

$2$ в степень

3

$3$ .

\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8)

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8)$

Этап 3.5.2.4

Умножим

8

$8$ на

- 1

$- 1$ .

\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - 8 (\frac{1}{3}))

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - 8 (\frac{1}{3}))$

Этап 3.5.2.5

Объединим

- 8

$- 8$ и

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} + \frac{- 8}{3})

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} + \frac{- 8}{3})$

Этап 3.5.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{8}{3})

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{8}{3})$

Этап 3.5.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

\frac{1}{4} \cdot \frac{1000 - 8}{3}

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1000 - 8}{3}$

Этап 3.5.2.8

Вычтем

8

$8$ из

1000

$1000$ .

\frac{1}{4} \cdot \frac{992}{3}

$\frac{1}{4} \cdot \frac{992}{3}$

Этап 3.5.2.9

Умножим

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ на

\frac{992}{3}

$\frac{992}{3}$ .

\frac{992}{4 \cdot 3}

$\frac{992}{4 \cdot 3}$

Этап 3.5.2.10

Умножим

4

$4$ на

3

$3$ .

\frac{992}{12}

$\frac{992}{12}$

Этап 3.5.2.11

Сократим общий множитель

992

$992$ и

12

$12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.11.1

Вынесем множитель

4

$4$ из

992

$992$ .

\frac{4 (248)}{12}

$\frac{4 (248)}{12}$

Этап 3.5.2.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.11.2.1

Вынесем множитель

4

$4$ из

12

$12$ .

\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}

$\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}$

Этап 3.5.2.11.2.2

Сократим общий множитель.

\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}

$\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}$

Этап 3.5.2.11.2.3

Перепишем это выражение.

\frac{248}{3}

$\frac{248}{3}$

\frac{248}{3}

$\frac{248}{3}$

\frac{248}{3}

$\frac{248}{3}$

\frac{248}{3}

$\frac{248}{3}$

\frac{248}{3}

$\frac{248}{3}$

\frac{248}{3}

$\frac{248}{3}$

Этап 4

Упростим формулу среднего квадратического значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим

\frac{1}{3 - 1}

$\frac{1}{3 - 1}$ на

\frac{248}{3}

$\frac{248}{3}$ .

f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{(3 - 1) \cdot 3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{(3 - 1) \cdot 3}}$

Этап 4.2

Вычтем

1

$1$ из

3

$3$ .

f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{2 \cdot 3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{2 \cdot 3}}$

Этап 4.3

Сократим выражение

\frac{248}{2 \cdot 3}

$\frac{248}{2 \cdot 3}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

248

$248$ .

f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель

2

$2$ из

2 \cdot 3

$2 \cdot 3$ .

f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 (3)}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 (3)}}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель.

f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}$

Этап 4.3.4

Перепишем это выражение.

f_{rms} = \sqrt{\frac{124}{3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{124}{3}}$

f_{rms} = \sqrt{\frac{124}{3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{124}{3}}$

Этап 4.4

Перепишем

\sqrt{\frac{124}{3}}

$\sqrt{\frac{124}{3}}$ в виде

\frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}$ .

f_{rms} = \frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}$

Этап 4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Перепишем

124

$124$ в виде

2^{2} \cdot 31

$2^{2} \cdot 31$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Вынесем множитель

4

$4$ из

124

$124$ .

f_{rms} = \frac{\sqrt{4 (31)}}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{4 (31)}}{\sqrt{3}}$

Этап 4.5.1.2

Перепишем

4

$4$ в виде

2^{2}

$2^{2}$ .

f_{rms} = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 31}}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 31}}{\sqrt{3}}$

f_{rms} = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 31}}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 31}}{\sqrt{3}}$

Этап 4.5.2

Вынесем члены из-под знака корня.

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$

Этап 4.6

Умножим

\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}

$\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$ на

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 4.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Умножим

\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}

$\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$ на

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 4.7.2

Возведем

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ в степень

1

$1$ .

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 4.7.3

Возведем

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ в степень

1

$1$ .

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 4.7.4

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 4.7.5

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 4.7.6

Перепишем

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ в виде

3

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.6.1

С помощью

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ в виде

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ .

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.7.6.3

Объединим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ и

2

$2$ .

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.7.6.4

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}$

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.7.6.5

Найдем экспоненту.

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}$

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}$

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{3 \cdot 31}}{3}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{3 \cdot 31}}{3}$

Этап 4.8.2

Умножим

3

$3$ на

31

$31$ .

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{93}}{3}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{93}}{3}$

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{93}}{3}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{93}}{3}$

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{93}}{3}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{93}}{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

f_{rms} = \frac{2 \sqrt{93}}{3}

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{93}}{3}$

Десятичная форма:

f_{rms} = 6.42910050 \dots

$f_{rms} = 6.42910050 \dots$

Этап 6

Введите СВОЮ задачу