Математический анализ Примеры

$y = 3 x^{2} + 3 x$ , $(- 5, 1)$

Этап 1

Запишем $y = 3 x^{2} + 3 x$ в виде функции.

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[- 5, 1]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 4

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 5

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (\int_{- 5}^{1} 3 x^{2} + 3 x d x)$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (\int_{- 5}^{1} 3 x^{2} d x + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)$

Этап 7

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 \int_{- 5}^{1} x^{2} d x + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)$

Этап 10

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + 3 \int_{- 5}^{1} x d x)$

Этап 11

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 5}^{1}))$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}))$

Этап 12.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $- 5$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}))$

Этап 12.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $- 5$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Этап 12.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Этап 12.2.3.2

Возведем $- 5$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} - \frac{- 125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Этап 12.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} + \frac{125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Этап 12.2.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{125}{3})) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Этап 12.2.3.5

Умножим $\frac{125}{3}$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} + \frac{125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Этап 12.2.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1 + 125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Этап 12.2.3.7

Добавим $1$ и $125$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{126}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Этап 12.2.3.8

Сократим общий множитель $126$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.8.1

Вынесем множитель $3$ из $126$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{3 \cdot 42}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Этап 12.2.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.8.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{3 \cdot 42}{3 (1)}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Этап 12.2.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{3 \cdot 42}{3 \cdot 1}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Этап 12.2.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{42}{1}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Этап 12.2.3.8.2.4

Разделим $42$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 \cdot 42 + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Этап 12.2.3.9

Умножим $3$ на $42$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Этап 12.2.3.10

Единица в любой степени равна единице.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Этап 12.2.3.11

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{1}{2} - \frac{25}{2}))$

Этап 12.2.3.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{1 - 25}{2}))$

Этап 12.2.3.13

Вычтем $25$ из $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{- 24}{2}))$

Этап 12.2.3.14

Сократим общий множитель $- 24$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.14.1

Вынесем множитель $2$ из $- 24$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{2 \cdot - 12}{2}))$

Этап 12.2.3.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.14.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{2 \cdot - 12}{2 (1)}))$

Этап 12.2.3.14.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1}))$

Этап 12.2.3.14.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{- 12}{1}))$

Этап 12.2.3.14.2.4

Разделим $- 12$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 \cdot - 12)$

Этап 12.2.3.15

Умножим $3$ на $- 12$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 - 36)$

Этап 12.2.3.16

Вычтем $36$ из $126$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (90)$

Этап 13

Добавим $1$ и $5$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 90$

Этап 14

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Вынесем множитель $6$ из $90$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 (15))$

Этап 14.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 15)$

Этап 14.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = 15$

Этап 15

Введите СВОЮ задачу