Математический анализ Примеры

f (x) = x^{2} + 2 x

$f (x) = x^{2} + 2 x$ ,

[0, 6]

$[0, 6]$

Этап 1

Найдем производную

f (x) = x^{2} + 2 x

$f (x) = x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная

x^{2} + 2 x

$x^{2} + 2 x$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 2

$n = 2$ .

2 x + \frac{d}{d x} [2 x]

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

2 x + \frac{d}{d x} [2 x]

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.2

Найдем значение

\frac{d}{d x} [2 x]

$\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку

2

$2$ является константой относительно

x

$x$ , производная

2 x

$2 x$ по

x

$x$ равна

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

2 x + 2 \cdot 1

$2 x + 2 \cdot 1$

Этап 1.1.2.3

Умножим

2

$2$ на

1

$1$ .

$f' (x) = 2 x + 2$

Этап 1.2

Первая производная

$f (x)$ по

$x$ равна

$2 x + 2$ .

$2 x + 2$

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области

$[0, 6]$ .

$f' (x)$ — непрерывное выражение

Этап 4

Среднее значение функции

$f'$ на интервале

$[a, b]$ определяется как

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 5

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} 2 x + 2 d x)$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} 2 x d x + \int_{0}^{6} 2 d x)$

Этап 7

Поскольку

$2$ — константа по отношению к

$x$ , вынесем

$2$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 \int_{0}^{6} x d x + \int_{0}^{6} 2 d x)$

Этап 8

По правилу степени интеграл

$x$ по

$x$ имеет вид

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} 2 d x)$

Этап 9

Объединим

$\frac{1}{2}$ и

$x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} 2 d x)$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{6}) + 2 x]_{0}^{6})$

Этап 11

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем значение

$\frac{x^{2}}{2}$ в

$6$ и в

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 2 x]_{0}^{6})$

Этап 11.2

Найдем значение

$2 x$ в

$6$ и в

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Этап 11.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Возведем

$6$ в степень

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{36}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Этап 11.3.2

Сократим общий множитель

$36$ и

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Вынесем множитель

$2$ из

$36$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Этап 11.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.2.1

Вынесем множитель

$2$ из

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Этап 11.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Этап 11.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{18}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Этап 11.3.2.2.4

Разделим

$18$ на

$1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Этап 11.3.3

Возведение

$0$ в любую положительную степень дает

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{0}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Этап 11.3.4

Сократим общий множитель

$0$ и

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.4.1

Вынесем множитель

$2$ из

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{2 (0)}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Этап 11.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.4.2.1

Вынесем множитель

$2$ из

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Этап 11.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Этап 11.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{0}{1}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Этап 11.3.4.2.4

Разделим

$0$ на

$1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - 0) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Этап 11.3.5

Умножим

$- 1$ на

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 + 0) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Этап 11.3.6

Добавим

$18$ и

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 \cdot 18 + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Этап 11.3.7

Умножим

$2$ на

$18$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Этап 11.3.8

Умножим

$2$ на

$6$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 12 - 2 \cdot 0)$

Этап 11.3.9

Умножим

$- 2$ на

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 12 + 0)$

Этап 11.3.10

Добавим

$12$ и

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 12)$

Этап 11.3.11

Добавим

$36$ и

$12$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (48)$

Этап 12

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим

$- 1$ на

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 0} \cdot 48$

Этап 12.2

Добавим

$6$ и

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 48$

Этап 13

Сократим общий множитель

$6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Вынесем множитель

$6$ из

$48$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 (8))$

Этап 13.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 8)$

Этап 13.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = 8$

Этап 14

Введите СВОЮ задачу