Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{3} - x^{2} + 2 x - 1$ , $[0, 2]$

Этап 1

Найдем производную $f (x) = x^{3} - x^{2} + 2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} - x^{2} + 2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} - 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$3 x^{2} - 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} - 2 x + 2 + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $3 x^{2} - 2 x + 2$ и $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 x + 2$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} - 2 x + 2$ .

$3 x^{2} - 2 x + 2$

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 2]$ .

$f' (x)$ — непрерывное выражение

Этап 4

Среднее значение функции $f'$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 5

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 3 x^{2} - 2 x + 2 d x)$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{0}^{2} - 2 x d x + \int_{0}^{2} 2 d x)$

Этап 7

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} - 2 x d x + \int_{0}^{2} 2 d x)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 2 x d x + \int_{0}^{2} 2 d x)$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 2 x d x + \int_{0}^{2} 2 d x)$

Этап 10

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - 2 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} 2 d x)$

Этап 11

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 d x)$

Этап 12

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 d x)$

Этап 13

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 2 x]_{0}^{2})$

Этап 14

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $2$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 2 x]_{0}^{2})$

Этап 14.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $2$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 x]_{0}^{2})$

Этап 14.3

Найдем значение $2 x$ в $2$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Этап 14.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Этап 14.4.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Этап 14.4.3

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.3.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Этап 14.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Этап 14.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Этап 14.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Этап 14.4.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - 0) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Этап 14.4.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} + 0) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Этап 14.4.5

Добавим $\frac{8}{3}$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Этап 14.4.6

Объединим $3$ и $\frac{8}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 8}{3} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Этап 14.4.7

Умножим $3$ на $8$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{24}{3} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Этап 14.4.8

Сократим общий множитель $24$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.8.1

Вынесем множитель $3$ из $24$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 8}{3} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Этап 14.4.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.8.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 8}{3 (1)} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Этап 14.4.8.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 1} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Этап 14.4.8.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{8}{1} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Этап 14.4.8.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Этап 14.4.9

Возведем $2$ в степень $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Этап 14.4.10

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.10.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Этап 14.4.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Этап 14.4.10.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Этап 14.4.10.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Этап 14.4.10.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Этап 14.4.11

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - \frac{0}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Этап 14.4.12

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.12.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - \frac{2 (0)}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Этап 14.4.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.12.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Этап 14.4.12.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Этап 14.4.12.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - \frac{0}{1}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Этап 14.4.12.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - 0) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Этап 14.4.13

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 + 0) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Этап 14.4.14

Добавим $2$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Этап 14.4.15

Умножим $- 2$ на $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 4 + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Этап 14.4.16

Вычтем $4$ из $8$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Этап 14.4.17

Умножим $2$ на $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 + 4 - 2 \cdot 0)$

Этап 14.4.18

Умножим $- 2$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 + 4 + 0)$

Этап 14.4.19

Добавим $4$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 + 4)$

Этап 14.4.20

Добавим $4$ и $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8)$

Этап 15

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot 8$

Этап 15.2

Добавим $2$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 8$

Этап 16

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (4))$

Этап 16.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 4)$

Этап 16.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = 4$

Этап 17

Введите СВОЮ задачу