Математический анализ Примеры

f (x) = 4 x - 2

$f (x) = 4 x - 2$ ,

(- 2, 4)

$(- 2, 4)$

Этап 1

Проверим непрерывность

f (x) = 4 x - 2

$f (x) = 4 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

{x | x \in R}

${x | x \in ℝ}$

Этап 1.2

f (x)

$f (x)$ — непрерывное выражение в области

[- 2, 4]

$[- 2, 4]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 2

Проверим дифференцируемость

f (x) = 4 x - 2

$f (x) = 4 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

По правилу суммы производная

4 x - 2

$4 x - 2$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.1.1.2

Найдем значение

\frac{d}{d x} [4 x]

$\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Поскольку

4

$4$ является константой относительно

x

$x$ , производная

4 x

$4 x$ по

x

$x$ равна

4 \frac{d}{d x} [x]

$4 \frac{d}{d x} [x]$ .

4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.1.1.2.3

Умножим

4

$4$ на

1

$1$ .

4 + \frac{d}{d x} [- 2]

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

4 + \frac{d}{d x} [- 2]

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Поскольку

- 2

$- 2$ является константой относительно

x

$x$ , производная

- 2

$- 2$ относительно

x

$x$ равна

0

$0$ .

4 + 0

$4 + 0$

Этап 2.1.1.3.2

Добавим

4

$4$ и

0

$0$ .

$f' (x) = 4$

Этап 2.1.2

Первая производная

$f (x)$ по

$x$ равна

$4$ .

$4$

Этап 2.2

Выясним, является ли производная непрерывной на

$[- 2, 4]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2.2.2

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области

$[- 2, 4]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 2.3

Функция является дифференцируемой на

$[- 2, 4]$ , поскольку производная является непрерывной на

$[- 2, 4]$ .

Функция является дифференцируемой.

Этап 3

Для нахождения длины дуги необходима непрерывность функции и ее производной на отрезке

$[- 2, 4]$ .

Функция и ее производная являются непрерывными на замкнутом интервале

$[- 2, 4]$ .

Этап 4

Найдем производную

$f (x) = 4 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная

$4 x - 2$ по

$x$ имеет вид

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 4.2

Найдем значение

$\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку

$4$ является константой относительно

$x$ , производная

$4 x$ по

$x$ равна

$4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 4.2.3

Умножим

$4$ на

$1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку

$- 2$ является константой относительно

$x$ , производная

$- 2$ относительно

$x$ равна

$0$ .

$4 + 0$

Этап 4.3.2

Добавим

$4$ и

$0$ .

$4$

Этап 5

Чтобы найти длину дуги графика функции, воспользуемся формулой

$L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{- 2}^{4} \sqrt{1 + {(4)}^{2}} d x$

Этап 6

Найдем интеграл.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\sqrt{17} x]_{- 2}^{4}$

Этап 6.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Найдем значение

$\sqrt{17} x$ в

$4$ и в

$- 2$ .

$(\sqrt{17} \cdot 4) - \sqrt{17} \cdot - 2$

Этап 6.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Перенесем

$4$ влево от

$\sqrt{17}$ .

$4 \cdot \sqrt{17} - \sqrt{17} \cdot - 2$

Этап 6.2.2.2

Умножим

$- 2$ на

$- 1$ .

$4 \sqrt{17} + 2 \sqrt{17}$

Этап 6.2.2.3

Добавим

$4 \sqrt{17}$ и

$2 \sqrt{17}$ .

$6 \sqrt{17}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$6 \sqrt{17}$

Десятичная форма:

$24.73863375 \dots$

Этап 8

Введите СВОЮ задачу