Математический анализ Примеры

$f (x) = 6 x - 6$ , $(- 1, 4)$

Этап 1

Проверим непрерывность $f (x) = 6 x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 1.2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[- 1, 4]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 2

Проверим дифференцируемость $f (x) = 6 x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

По правилу суммы производная $6 x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 2.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 2.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 2.1.1.2.3

Умножим $6$ на $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 + 0$

Этап 2.1.1.3.2

Добавим $6$ и $0$ .

$f' (x) = 6$

Этап 2.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $6$ .

$6$

Этап 2.2

Выясним, является ли производная непрерывной на $[- 1, 4]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2.2.2

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области $[- 1, 4]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 2.3

Функция является дифференцируемой на $[- 1, 4]$ , поскольку производная является непрерывной на $[- 1, 4]$ .

Функция является дифференцируемой.

Этап 3

Для нахождения длины дуги необходима непрерывность функции и ее производной на отрезке $[- 1, 4]$ .

Функция и ее производная являются непрерывными на замкнутом интервале $[- 1, 4]$ .

Этап 4

Найдем производную $f (x) = 6 x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $6 x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 4.2.3

Умножим $6$ на $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 + 0$

Этап 4.3.2

Добавим $6$ и $0$ .

$6$

Этап 5

Чтобы найти длину дуги графика функции, воспользуемся формулой $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{- 1}^{4} \sqrt{1 + {(6)}^{2}} d x$

Этап 6

Найдем интеграл.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\sqrt{37} x]_{- 1}^{4}$

Этап 6.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Найдем значение $\sqrt{37} x$ в $4$ и в $- 1$ .

$(\sqrt{37} \cdot 4) - \sqrt{37} \cdot - 1$

Этап 6.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Перенесем $4$ влево от $\sqrt{37}$ .

$4 \cdot \sqrt{37} - \sqrt{37} \cdot - 1$

Этап 6.2.2.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$4 \sqrt{37} + 1 \sqrt{37}$

Этап 6.2.2.3

Умножим $\sqrt{37}$ на $1$ .

$4 \sqrt{37} + \sqrt{37}$

Этап 6.2.2.4

Добавим $4 \sqrt{37}$ и $\sqrt{37}$ .

$5 \sqrt{37}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$5 \sqrt{37}$

Десятичная форма:

$30.41381265 \dots$

Этап 8

Введите СВОЮ задачу