Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 x - 2$ , $(1, 3)$

Этап 1

Проверим непрерывность $f (x) = 4 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 1.2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[1, 3]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 2

Проверим дифференцируемость $f (x) = 4 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

По правилу суммы производная $4 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.1.1.2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 + 0$

Этап 2.1.1.3.2

Добавим $4$ и $0$ .

$f' (x) = 4$

Этап 2.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $4$ .

$4$

Этап 2.2

Выясним, является ли производная непрерывной на $[1, 3]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2.2.2

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области $[1, 3]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 2.3

Функция является дифференцируемой на $[1, 3]$ , поскольку производная является непрерывной на $[1, 3]$ .

Функция является дифференцируемой.

Этап 3

Для нахождения длины дуги необходима непрерывность функции и ее производной на отрезке $[1, 3]$ .

Функция и ее производная являются непрерывными на замкнутом интервале $[1, 3]$ .

Этап 4

Найдем производную $f (x) = 4 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $4 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 4.2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 + 0$

Этап 4.3.2

Добавим $4$ и $0$ .

$4$

Этап 5

Чтобы найти длину дуги графика функции, воспользуемся формулой $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{1}^{3} \sqrt{1 + {(4)}^{2}} d x$

Этап 6

Найдем интеграл.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\sqrt{17} x]_{1}^{3}$

Этап 6.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Найдем значение $\sqrt{17} x$ в $3$ и в $1$ .

$(\sqrt{17} \cdot 3) - \sqrt{17} \cdot 1$

Этап 6.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Перенесем $3$ влево от $\sqrt{17}$ .

$3 \cdot \sqrt{17} - \sqrt{17} \cdot 1$

Этап 6.2.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$3 \sqrt{17} - \sqrt{17}$

Этап 6.2.2.3

Вычтем $\sqrt{17}$ из $3 \sqrt{17}$ .

$2 \sqrt{17}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$2 \sqrt{17}$

Десятичная форма:

$8.24621125 \dots$

Этап 8

Введите СВОЮ задачу