Математический анализ Примеры

y = x^{2} + x

$y = x^{2} + x$ ,

y = x + 2

$y = x + 2$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

x^{2} + x = x + 2

$x^{2} + x = x + 2$

Этап 1.2

Решим

x^{2} + x = x + 2

$x^{2} + x = x + 2$ относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем все члены с

x

$x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вычтем

x

$x$ из обеих частей уравнения.

x^{2} + x - x = 2

$x^{2} + x - x = 2$

Этап 1.2.1.2

Объединим противоположные члены в

x^{2} + x - x

$x^{2} + x - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Вычтем

x

$x$ из

x

$x$ .

x^{2} + 0 = 2

$x^{2} + 0 = 2$

Этап 1.2.1.2.2

Добавим

x^{2}

$x^{2}$ и

0

$0$ .

x^{2} = 2

$x^{2} = 2$

x^{2} = 2

$x^{2} = 2$

x^{2} = 2

$x^{2} = 2$

Этап 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

x = \pm \sqrt{2}

$x = \pm \sqrt{2}$

Этап 1.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения

\pm

$\pm$ найдем первое решение.

x = \sqrt{2}

$x = \sqrt{2}$

Этап 1.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение

\pm

$\pm$ , найдем второе решение.

x = - \sqrt{2}

$x = - \sqrt{2}$

Этап 1.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 1.3

Вычислим

y

$y$ , когда

x = \sqrt{2}

$x = \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ вместо

x

$x$ .

y = (\sqrt{2}) + 2

$y = (\sqrt{2}) + 2$

Этап 1.3.2

Подставим

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ вместо

x

$x$ в

y = (\sqrt{2}) + 2

$y = (\sqrt{2}) + 2$ и решим относительно

y

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

y = \sqrt{2} + 2

$y = \sqrt{2} + 2$

Этап 1.3.2.2

Избавимся от скобок.

y = (\sqrt{2}) + 2

$y = (\sqrt{2}) + 2$

Этап 1.3.2.3

Избавимся от скобок.

y = \sqrt{2} + 2

$y = \sqrt{2} + 2$

y = \sqrt{2} + 2

$y = \sqrt{2} + 2$

y = \sqrt{2} + 2

$y = \sqrt{2} + 2$

Этап 1.4

Вычислим

y

$y$ , когда

x = - \sqrt{2}

$x = - \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим

- \sqrt{2}

$- \sqrt{2}$ вместо

x

$x$ .

y = (- \sqrt{2}) + 2

$y = (- \sqrt{2}) + 2$

Этап 1.4.2

Подставим

- \sqrt{2}

$- \sqrt{2}$ вместо

x

$x$ в

y = (- \sqrt{2}) + 2

$y = (- \sqrt{2}) + 2$ и решим относительно

y

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Избавимся от скобок.

y = - \sqrt{2} + 2

$y = - \sqrt{2} + 2$

Этап 1.4.2.2

Избавимся от скобок.

y = (- \sqrt{2}) + 2

$y = (- \sqrt{2}) + 2$

Этап 1.4.2.3

Избавимся от скобок.

y = - \sqrt{2} + 2

$y = - \sqrt{2} + 2$

y = - \sqrt{2} + 2

$y = - \sqrt{2} + 2$

y = - \sqrt{2} + 2

$y = - \sqrt{2} + 2$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

(\sqrt{2}, \sqrt{2} + 2)

$(\sqrt{2}, \sqrt{2} + 2)$

(- \sqrt{2}, - \sqrt{2} + 2)

$(- \sqrt{2}, - \sqrt{2} + 2)$

(\sqrt{2}, \sqrt{2} + 2)

$(\sqrt{2}, \sqrt{2} + 2)$

(- \sqrt{2}, - \sqrt{2} + 2)

$(- \sqrt{2}, - \sqrt{2} + 2)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

A r e a = \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x + 2 d x - \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^{2} + x d x

$A r e a = \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x + 2 d x - \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^{2} + x d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между

$- \sqrt{2}$ и

$\sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x + 2 - (x^{2} + x) d x$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x + 2 - x^{2} - x d x$

Этап 3.3

Объединим противоположные члены в

$x + 2 - x^{2} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем

$x$ из

$x$ .

$2 - x^{2} + 0$

Этап 3.3.2

Добавим

$2 - x^{2}$ и

$0$ .

$2 - x^{2}$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 2 - x^{2} d x$

Этап 3.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 2 d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - x^{2} d x$

Этап 3.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - x^{2} d x$

Этап 3.6

Поскольку

$- 1$ — константа по отношению к

$x$ , вынесем

$- 1$ из-под знака интеграла.

$2 x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^{2} d x$

Этап 3.7

По правилу степени интеграл

$x^{2}$ по

$x$ имеет вид

$\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Этап 3.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Объединим

$\frac{1}{3}$ и

$x^{3}$ .

$2 x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Этап 3.8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Найдем значение

$2 x$ в

$\sqrt{2}$ и в

$- \sqrt{2}$ .

$(2 \sqrt{2}) - 2 (- \sqrt{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Этап 3.8.2.2

Найдем значение

$\frac{x^{3}}{3}$ в

$\sqrt{2}$ и в

$- \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} - 2 (- \sqrt{2}) - (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.1

Умножим

$- 1$ на

$- 2$ .

$2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.2

Добавим

$2 \sqrt{2}$ и

$2 \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.3

Перепишем

${\sqrt{2}}^{3}$ в виде

$\sqrt{2^{3}}$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{2^{3}}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.4

Возведем

$2$ в степень

$3$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.5

Вынесем множитель

$- 1$ из

$- \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- (\sqrt{2}))}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.6

Применим правило умножения к

$- (\sqrt{2})$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.7

Возведем

$- 1$ в степень

$3$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- {\sqrt{2}}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.8

Перепишем

${\sqrt{2}}^{3}$ в виде

$\sqrt{2^{3}}$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- \sqrt{2^{3}}}{3})$

Этап 3.8.2.3.9

Возведем

$2$ в степень

$3$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- \sqrt{8}}{3})$

Этап 3.8.2.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - - \frac{\sqrt{8}}{3})$

Этап 3.8.2.3.11

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} + 1 \frac{\sqrt{8}}{3})$

Этап 3.8.2.3.12

Умножим

$\frac{\sqrt{8}}{3}$ на

$1$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} + \frac{\sqrt{8}}{3})$

Этап 3.8.2.3.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \sqrt{2} - \frac{\sqrt{8} + \sqrt{8}}{3}$

Этап 3.8.2.3.14

Добавим

$\sqrt{8}$ и

$\sqrt{8}$ .

$4 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{8}}{3}$

Этап 3.8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1

Перепишем

$8$ в виде

$2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1.1

Вынесем множитель

$4$ из

$8$ .

$4 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{4 (2)}}{3}$

Этап 3.8.3.1.2

Перепишем

$4$ в виде

$2^{2}$ .

$4 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{3}$

Этап 3.8.3.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$4 \sqrt{2} - \frac{2 (2 \sqrt{2})}{3}$

Этап 3.8.3.3

Умножим

$2$ на

$2$ .

$4 \sqrt{2} - \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

Этап 3.8.3.4

Чтобы записать

$4 \sqrt{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{3}{3}$ .

$4 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

Этап 3.8.3.5

Объединим

$4 \sqrt{2}$ и

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} \cdot 3}{3} - \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

Этап 3.8.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 \sqrt{2} \cdot 3 - 4 \sqrt{2}}{3}$

Этап 3.8.3.7

Умножим

$3$ на

$4$ .

$\frac{12 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}}{3}$

Этап 3.8.3.8

Вычтем

$4 \sqrt{2}$ из

$12 \sqrt{2}$ .

$\frac{8 \sqrt{2}}{3}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{8 \sqrt{2}}{3}$

Десятичная форма:

$3.77123616 \dots$

Этап 5

Введите СВОЮ задачу