Математический анализ Примеры

y = x^{2} - 6

$y = x^{2} - 6$ ,

y = x

$y = x$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

x^{2} - 6 = x

$x^{2} - 6 = x$

Этап 1.2

Решим

x^{2} - 6 = x

$x^{2} - 6 = x$ относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем

x

$x$ из обеих частей уравнения.

x^{2} - 6 - x = 0

$x^{2} - 6 - x = 0$

Этап 1.2.2

Разложим

x^{2} - 6 - x

$x^{2} - 6 - x$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Рассмотрим форму

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно

c

$c$ , а сумма —

b

$b$ . В данном случае произведение чисел равно

- 6

$- 6$ , а сумма —

- 1

$- 1$ .

- 3, 2 + y = x

$- 3, 2 + y = x$

Этап 1.2.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

(x - 3) (x + 2) = 0

$(x - 3) (x + 2) = 0$

(x - 3) (x + 2) = 0

$(x - 3) (x + 2) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен

0

$0$ , все выражение равно

0

$0$ .

x - 3 = 0

$x - 3 = 0$

x + 2 = 0 + y = x

$x + 2 = 0 + y = x$

Этап 1.2.4

Приравняем

x - 3

$x - 3$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем

x - 3

$x - 3$ к

0

$0$ .

x - 3 = 0

$x - 3 = 0$

Этап 1.2.4.2

Добавим

3

$3$ к обеим частям уравнения.

x = 3

$x = 3$

x = 3

$x = 3$

Этап 1.2.5

Приравняем

x + 2

$x + 2$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем

x + 2

$x + 2$ к

0

$0$ .

x + 2 = 0

$x + 2 = 0$

Этап 1.2.5.2

Вычтем

2

$2$ из обеих частей уравнения.

x = - 2

$x = - 2$

x = - 2

$x = - 2$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых

(x - 3) (x + 2) = 0

$(x - 3) (x + 2) = 0$ верно.

x = 3, - 2

$x = 3, - 2$

x = 3, - 2

$x = 3, - 2$

Этап 1.3

Вычислим

y

$y$ , когда

x = 3

$x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим

3

$3$ вместо

x

$x$ .

y = 3

$y = 3$

Этап 1.3.2

Избавимся от скобок.

y = 3

$y = 3$

y = 3

$y = 3$

Этап 1.4

Вычислим

y

$y$ , когда

x = - 2

$x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим

- 2

$- 2$ вместо

x

$x$ .

y = - 2

$y = - 2$

Этап 1.4.2

Избавимся от скобок.

y = - 2

$y = - 2$

y = - 2

$y = - 2$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

(3, 3)

$(3, 3)$

(- 2, - 2)

$(- 2, - 2)$

(3, 3)

$(3, 3)$

(- 2, - 2)

$(- 2, - 2)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

A r e a = \int_{- 2}^{3} x d x - \int_{- 2}^{3} x^{2} - 6 d x

$A r e a = \int_{- 2}^{3} x d x - \int_{- 2}^{3} x^{2} - 6 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между

- 2

$- 2$ и

3

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

\int_{- 2}^{3} x - (x^{2} - 6) d x

$\int_{- 2}^{3} x - (x^{2} - 6) d x$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

x - x^{2} - - 6

$x - x^{2} - - 6$

Этап 3.2.2

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 6

$- 6$ .

x - x^{2} + 6

$x - x^{2} + 6$

\int_{- 2}^{3} x - x^{2} + 6 d x

$\int_{- 2}^{3} x - x^{2} + 6 d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

\int_{- 2}^{3} x d x + \int_{- 2}^{3} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{3} 6 d x

$\int_{- 2}^{3} x d x + \int_{- 2}^{3} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{3} 6 d x$

Этап 3.4

По правилу степени интеграл

x

$x$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{1}{2} x^{2}

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{3} + \int_{- 2}^{3} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{3} 6 d x

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{3} + \int_{- 2}^{3} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{3} 6 d x$

Этап 3.5

Поскольку

- 1

$- 1$ — константа по отношению к

x

$x$ , вынесем

- 1

$- 1$ из-под знака интеграла.

\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{3} - \int_{- 2}^{3} x^{2} d x + \int_{- 2}^{3} 6 d x

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{3} - \int_{- 2}^{3} x^{2} d x + \int_{- 2}^{3} 6 d x$

Этап 3.6

По правилу степени интеграл

x^{2}

$x^{2}$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{1}{3} x^{3}

$\frac{1}{3} x^{3}$ .

\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{3} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{3}) + \int_{- 2}^{3} 6 d x

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{3} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{3}) + \int_{- 2}^{3} 6 d x$

Этап 3.7

Объединим

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ и

x^{3}

$x^{3}$ .

\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{3}) + \int_{- 2}^{3} 6 d x

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{3}) + \int_{- 2}^{3} 6 d x$

Этап 3.8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{3}) + 6 x]_{- 2}^{3}

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{3}) + 6 x]_{- 2}^{3}$

Этап 3.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Объединим

\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{3}

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{3}$ и

$6 x]_{- 2}^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 6 x]_{- 2}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{3})$

Этап 3.9.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1

Найдем значение

$\frac{1}{2} x^{2} + 6 x$ в

$3$ и в

$- 2$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{3})$

Этап 3.9.2.2

Найдем значение

$\frac{x^{3}}{3}$ в

$3$ и в

$- 2$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.1

Возведем

$3$ в степень

$2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9 + 6 \cdot 3 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.2

Объединим

$\frac{1}{2}$ и

$9$ .

$\frac{9}{2} + 6 \cdot 3 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.3

Умножим

$6$ на

$3$ .

$\frac{9}{2} + 18 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.4

Чтобы записать

$18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} + 18 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.5

Объединим

$18$ и

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{18 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9 + 18 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.7.1

Умножим

$18$ на

$2$ .

$\frac{9 + 36}{2} - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.7.2

Добавим

$9$ и

$36$ .

$\frac{45}{2} - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.8

Возведем

$- 2$ в степень

$2$ .

$\frac{45}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 4 + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.9

Объединим

$\frac{1}{2}$ и

$4$ .

$\frac{45}{2} - (\frac{4}{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.10

Сократим общий множитель

$4$ и

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.10.1

Вынесем множитель

$2$ из

$4$ .

$\frac{45}{2} - (\frac{2 \cdot 2}{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.10.2.1

Вынесем множитель

$2$ из

$2$ .

$\frac{45}{2} - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{45}{2} - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{45}{2} - (\frac{2}{1} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.10.2.4

Разделим

$2$ на

$1$ .

$\frac{45}{2} - (2 + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.11

Умножим

$6$ на

$- 2$ .

$\frac{45}{2} - (2 - 12) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.12

Вычтем

$12$ из

$2$ .

$\frac{45}{2} - - 10 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.13

Умножим

$- 1$ на

$- 10$ .

$\frac{45}{2} + 10 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.14

Чтобы записать

$10$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{45}{2} + 10 \cdot \frac{2}{2} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.15

Объединим

$10$ и

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{45}{2} + \frac{10 \cdot 2}{2} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{45 + 10 \cdot 2}{2} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.17.1

Умножим

$10$ на

$2$ .

$\frac{45 + 20}{2} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.17.2

Добавим

$45$ и

$20$ .

$\frac{65}{2} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.18

Возведем

$3$ в степень

$3$ .

$\frac{65}{2} - (\frac{27}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.19

Сократим общий множитель

$27$ и

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.19.1

Вынесем множитель

$3$ из

$27$ .

$\frac{65}{2} - (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.19.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.19.2.1

Вынесем множитель

$3$ из

$3$ .

$\frac{65}{2} - (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.19.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{65}{2} - (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.19.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{65}{2} - (\frac{9}{1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.19.2.4

Разделим

$9$ на

$1$ .

$\frac{65}{2} - (9 - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.20

Возведем

$- 2$ в степень

$3$ .

$\frac{65}{2} - (9 - \frac{- 8}{3})$

Этап 3.9.2.3.21

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{65}{2} - (9 - - \frac{8}{3})$

Этап 3.9.2.3.22

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$\frac{65}{2} - (9 + 1 (\frac{8}{3}))$

Этап 3.9.2.3.23

Умножим

$\frac{8}{3}$ на

$1$ .

$\frac{65}{2} - (9 + \frac{8}{3})$

Этап 3.9.2.3.24

Чтобы записать

$9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{65}{2} - (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3})$

Этап 3.9.2.3.25

Объединим

$9$ и

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{65}{2} - (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3})$

Этап 3.9.2.3.26

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{65}{2} - \frac{9 \cdot 3 + 8}{3}$

Этап 3.9.2.3.27

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.27.1

Умножим

$9$ на

$3$ .

$\frac{65}{2} - \frac{27 + 8}{3}$

Этап 3.9.2.3.27.2

Добавим

$27$ и

$8$ .

$\frac{65}{2} - \frac{35}{3}$

Этап 3.9.2.3.28

Чтобы записать

$\frac{65}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{65}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{35}{3}$

Этап 3.9.2.3.29

Чтобы записать

$- \frac{35}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{65}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{35}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.9.2.3.30

Запишем каждое выражение с общим знаменателем

$6$ , умножив на подходящий множитель

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.30.1

Умножим

$\frac{65}{2}$ на

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{65 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{35}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.9.2.3.30.2

Умножим

$2$ на

$3$ .

$\frac{65 \cdot 3}{6} - \frac{35}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.9.2.3.30.3

Умножим

$\frac{35}{3}$ на

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{65 \cdot 3}{6} - \frac{35 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Этап 3.9.2.3.30.4

Умножим

$3$ на

$2$ .

$\frac{65 \cdot 3}{6} - \frac{35 \cdot 2}{6}$

Этап 3.9.2.3.31

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{65 \cdot 3 - 35 \cdot 2}{6}$

Этап 3.9.2.3.32

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.32.1

Умножим

$65$ на

$3$ .

$\frac{195 - 35 \cdot 2}{6}$

Этап 3.9.2.3.32.2

Умножим

$- 35$ на

$2$ .

$\frac{195 - 70}{6}$

Этап 3.9.2.3.32.3

Вычтем

$70$ из

$195$ .

$\frac{125}{6}$

Этап 4

Введите СВОЮ задачу