Математический анализ Примеры

$y = {(x + 3)}^{2}$ , $(1, 16)$

Этап 1

Запишем $y = {(x + 3)}^{2}$ в виде функции.

$f (x) = {(x + 3)}^{2}$

Этап 2

Проверим, лежит ли заданная точка на графике заданной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение $f (x) = {(x + 3)}^{2}$ в точке $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = {((1) + 3)}^{2}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Добавим $1$ и $3$ .

$f (1) = 4^{2}$

Этап 2.1.2.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (1) = 16$

Этап 2.1.2.3

Окончательный ответ: $16$ .

$16$

Этап 2.2

Поскольку $16 = 16$ , точка лежит на графике.

Точка лежит на графике

Этап 3

Угловой коэффициент касательной равен производной выражения.

$m$ $=$ Производная от $f (x) = {(x + 3)}^{2}$

Этап 4

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 5

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = {((x + h) + 3)}^{2}$

Этап 5.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Перепишем ${(x + h + 3)}^{2}$ в виде $(x + h + 3) (x + h + 3)$ .

$f (x + h) = (x + h + 3) (x + h + 3)$

Этап 5.1.2.2

Развернем $(x + h + 3) (x + h + 3)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + x \cdot 3 + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Этап 5.1.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + x \cdot 3 + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Этап 5.1.2.3.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 \cdot x + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Этап 5.1.2.3.3

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Этап 5.1.2.3.4

Перенесем $3$ влево от $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 \cdot h + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Этап 5.1.2.3.5

Умножим $3$ на $3$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

Этап 5.1.2.4

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.4.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

Этап 5.1.2.4.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

Этап 5.1.2.5

Добавим $3 x$ и $3 x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 h + 6 x + 3 h + 9$

Этап 5.1.2.6

Добавим $3 h$ и $3 h$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Этап 5.1.2.7

Окончательный ответ: $x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Этап 5.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Этап 5.2.2

Изменим порядок $2 h x$ и $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Этап 5.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

$f (x) = x^{2} + 6 x + 9$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

$f (x) = x^{2} + 6 x + 9$

Этап 6

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - (x^{2} + 6 x + 9)}{h}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - (6 x) - 1 \cdot 9}{h}$

Этап 7.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Умножим $6$ на $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 1 \cdot 9}{h}$

Этап 7.1.2.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 9}{h}$

Этап 7.1.3

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 9 + 0 - 6 x - 9}{h}$

Этап 7.1.4

Добавим $h^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 9 - 6 x - 9}{h}$

Этап 7.1.5

Вычтем $6 x$ из $6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0 + 9 - 9}{h}$

Этап 7.1.6

Добавим $h^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 9 - 9}{h}$

Этап 7.1.7

Вычтем $9$ из $9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0}{h}$

Этап 7.1.8

Добавим $h^{2} + 2 h x + 6 h$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h}{h}$

Этап 7.1.9

Вынесем множитель $h$ из $h^{2} + 2 h x + 6 h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.9.1

Вынесем множитель $h$ из $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x + 6 h}{h}$

Этап 7.1.9.2

Вынесем множитель $h$ из $2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + 6 h}{h}$

Этап 7.1.9.3

Вынесем множитель $h$ из $6 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 6}{h}$

Этап 7.1.9.4

Вынесем множитель $h$ из $h (h) + h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot 6}{h}$

Этап 7.1.9.5

Вынесем множитель $h$ из $h (h + 2 x) + h \cdot 6$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}$

Этап 7.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $h + 2 x + 6$ на $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x + 6$

Этап 7.2.2

Изменим порядок $h$ и $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h + 6$

Этап 8

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 6$

Этап 8.2

Найдем предел $2 x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 6$

Этап 8.3

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + 6$

Этап 9

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$2 x + 0 + 6$

Этап 10

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x + 6$

Этап 11

Упростим $2 (1) + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $2$ на $1$ .

$m = 2 + 6$

Этап 11.2

Добавим $2$ и $6$ .

$m = 8$

Этап 12

Угловой коэффициент равен $m = 8$ , а точка ― $(1, 16)$ .

$m = 8, (1, 16)$

Этап 13

Найдем значение $b$ , используя уравнение прямой.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем $b$ с помощью уравнения прямой.

$y = m x + b$

Этап 13.2

Подставим значение $m$ в уравнение.

$y = (8) \cdot x + b$

Этап 13.3

Подставим значение $x$ в уравнение.

$y = (8) \cdot (1) + b$

Этап 13.4

Подставим значение $y$ в уравнение.

$16 = (8) \cdot (1) + b$

Этап 13.5

Найдем значение $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Перепишем уравнение в виде $(8) \cdot (1) + b = 16$ .

$(8) \cdot (1) + b = 16$

Этап 13.5.2

Умножим $8$ на $1$ .

$8 + b = 16$

Этап 13.5.3

Перенесем все члены без $b$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.3.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$b = 16 - 8$

Этап 13.5.3.2

Вычтем $8$ из $16$ .

$b = 8$

Этап 14

Теперь, когда известны значения $m$ (углового коэффициента) и $b$ (координат точки пересечения с осью y), подставим их в $y = m x + b$ , чтобы найти уравнение прямой.

$y = 8 x + 8$

Этап 15

Введите СВОЮ задачу