Математический анализ Примеры

Найти касательную в заданной точке, используя определение предела
,
Этап 1
Запишем в виде функции.
Этап 2
Проверим, лежит ли заданная точка на графике заданной функции.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Найдем значение в точке .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 2.1.2
Упростим результат.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.2.1
Добавим и .
Этап 2.1.2.2
Возведем в степень .
Этап 2.1.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 2.2
Поскольку , точка лежит на графике.
Точка лежит на графике
Точка лежит на графике
Этап 3
Угловой коэффициент касательной равен производной выражения.
Производная от
Этап 4
Рассмотрим определение производной на основе предела.
Этап 5
Найдем компоненты определения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Найдем значение функции в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 5.1.2
Упростим результат.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.2.1
Перепишем в виде .
Этап 5.1.2.2
Развернем , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.
Этап 5.1.2.3
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.2.3.1
Умножим на .
Этап 5.1.2.3.2
Перенесем влево от .
Этап 5.1.2.3.3
Умножим на .
Этап 5.1.2.3.4
Перенесем влево от .
Этап 5.1.2.3.5
Умножим на .
Этап 5.1.2.4
Добавим и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.2.4.1
Изменим порядок и .
Этап 5.1.2.4.2
Добавим и .
Этап 5.1.2.5
Добавим и .
Этап 5.1.2.6
Добавим и .
Этап 5.1.2.7
Окончательный ответ: .
Этап 5.2
Упорядочим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.1
Перенесем .
Этап 5.2.2
Изменим порядок и .
Этап 5.3
Найдем компоненты определения.
Этап 6
Подставим компоненты.
Этап 7
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 7.1.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1.2.1
Умножим на .
Этап 7.1.2.2
Умножим на .
Этап 7.1.3
Вычтем из .
Этап 7.1.4
Добавим и .
Этап 7.1.5
Вычтем из .
Этап 7.1.6
Добавим и .
Этап 7.1.7
Вычтем из .
Этап 7.1.8
Добавим и .
Этап 7.1.9
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1.9.1
Вынесем множитель из .
Этап 7.1.9.2
Вынесем множитель из .
Этап 7.1.9.3
Вынесем множитель из .
Этап 7.1.9.4
Вынесем множитель из .
Этап 7.1.9.5
Вынесем множитель из .
Этап 7.2
Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.2.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 7.2.1.2
Разделим на .
Этап 7.2.2
Изменим порядок и .
Этап 8
Вычислим предел.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.1
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 8.2
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 8.3
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 9
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 10
Добавим и .
Этап 11
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 11.1
Умножим на .
Этап 11.2
Добавим и .
Этап 12
Угловой коэффициент равен , а точка ― .
Этап 13
Найдем значение , используя уравнение прямой.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 13.1
Найдем с помощью уравнения прямой.
Этап 13.2
Подставим значение в уравнение.
Этап 13.3
Подставим значение в уравнение.
Этап 13.4
Подставим значение в уравнение.
Этап 13.5
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 13.5.1
Перепишем уравнение в виде .
Этап 13.5.2
Умножим на .
Этап 13.5.3
Перенесем все члены без в правую часть уравнения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 13.5.3.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 13.5.3.2
Вычтем из .
Этап 14
Теперь, когда известны значения (углового коэффициента) и (координат точки пересечения с осью y), подставим их в , чтобы найти уравнение прямой.
Этап 15
Введите СВОЮ задачу
Для Mathway требуются JavaScript и современный браузер.