Математический анализ Примеры

f (x) = 3 x^{2} + 6 x - 5

$f (x) = 3 x^{2} + 6 x - 5$ ,

[- 2, 1]

$[- 2, 1]$

Этап 1

Если функция

f

$f$ непрерывна на интервале

[a, b]

$[a, b]$ и дифференцируема на

(a, b)

$(a, b)$ , тогда на интервале

(a, b)

$(a, b)$ существует хотя бы одно вещественное число

c

$c$ , такое что

$f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Теорема о среднем выражает отношение между угловым коэффициентом касательной к кривой при

$x = c$ и угловым коэффициентом прямой, проходящей через точки

$(a, f (a))$ и

$(b, f (b))$ .

Если выражение

$f (x)$ непрерывно на

$[a, b]$

и если выражение

$f (x)$ дифференцируемо на

$(a, b)$ ,

тогда существует хотя бы одна точка

$c$ на

$[a, b]$ :

$f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Этап 2

Проверим непрерывность

$f (x) = 3 x^{2} + 6 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2.2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области

$[- 2, 1]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 3

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная

$3 x^{2} + 6 x - 5$ по

$x$ имеет вид

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 3.1.2

Найдем значение

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Поскольку

$3$ является константой относительно

$x$ , производная

$3 x^{2}$ по

$x$ равна

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 3.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 3.1.2.3

Умножим

$2$ на

$3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 3.1.3

Найдем значение

$\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Поскольку

$6$ является константой относительно

$x$ , производная

$6 x$ по

$x$ равна

$6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 3.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = 1$ .

$6 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 3.1.3.3

Умножим

$6$ на

$1$ .

$6 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 3.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Поскольку

$- 5$ является константой относительно

$x$ , производная

$- 5$ относительно

$x$ равна

$0$ .

$6 x + 6 + 0$

Этап 3.1.4.2

Добавим

$6 x + 6$ и

$0$ .

$f' (x) = 6 x + 6$

Этап 3.2

Первая производная

$f (x)$ по

$x$ равна

$6 x + 6$ .

$6 x + 6$

Этап 4

Выясним, является ли производная непрерывной на

$(- 2, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4.2

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области

$(- 2, 1)$ .

Функция является непрерывной.

Этап 5

Функция является дифференцируемой на

$(- 2, 1)$ , поскольку производная является непрерывной на

$(- 2, 1)$ .

Функция является дифференцируемой.

Этап 6

$f (x)$ удовлетворяет двум условиям теоремы о среднем. Это непрерывное выражение в области

$[- 2, 1]$ , дифференцируемое в области

$(- 2, 1)$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение в области

$[- 2, 1]$ , дифференцируемое в области

$(- 2, 1)$ .

Этап 7

Найдем значение

$f (a)$ из интервала

$[- 2, 1]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$- 2$ .

$f (- 2) = 3 {(- 2)}^{2} + 6 (- 2) - 5$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем

$- 2$ в степень

$2$ .

$f (- 2) = 3 \cdot 4 + 6 (- 2) - 5$

Этап 7.2.1.2

Умножим

$3$ на

$4$ .

$f (- 2) = 12 + 6 (- 2) - 5$

Этап 7.2.1.3

Умножим

$6$ на

$- 2$ .

$f (- 2) = 12 - 12 - 5$

Этап 7.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вычтем

$12$ из

$12$ .

$f (- 2) = 0 - 5$

Этап 7.2.2.2

Вычтем

$5$ из

$0$ .

$f (- 2) = - 5$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ:

$- 5$ .

$- 5$

Этап 8

Найдем значение

$f (b)$ из интервала

$[- 2, 1]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$1$ .

$f (1) = 3 {(1)}^{2} + 6 (1) - 5$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 3 \cdot 1 + 6 (1) - 5$

Этап 8.2.1.2

Умножим

$3$ на

$1$ .

$f (1) = 3 + 6 (1) - 5$

Этап 8.2.1.3

Умножим

$6$ на

$1$ .

$f (1) = 3 + 6 - 5$

Этап 8.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Добавим

$3$ и

$6$ .

$f (1) = 9 - 5$

Этап 8.2.2.2

Вычтем

$5$ из

$9$ .

$f (1) = 4$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ:

$4$ .

$4$

Этап 9

Решим

$6 x + 6 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ относительно

$x$ .

$6 x + 6 = \frac{- (f (1) + f (- 2))}{- (1 - 2)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим

$\frac{(4) - (- 5)}{(1) - (- 2)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Умножим

$- 1$ на

$- 5$ .

$6 x + 6 = \frac{4 + 5}{1 - (- 2)}$

Этап 9.1.1.2

Добавим

$4$ и

$5$ .

$6 x + 6 = \frac{9}{1 - (- 2)}$

Этап 9.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Умножим

$- 1$ на

$- 2$ .

$6 x + 6 = \frac{9}{1 + 2}$

Этап 9.1.2.2

Добавим

$1$ и

$2$ .

$6 x + 6 = \frac{9}{3}$

Этап 9.1.3

Разделим

$9$ на

$3$ .

$6 x + 6 = 3$

Этап 9.2

Перенесем все члены без

$x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем

$6$ из обеих частей уравнения.

$6 x = 3 - 6$

Этап 9.2.2

Вычтем

$6$ из

$3$ .

$6 x = - 3$

Этап 9.3

Разделим каждый член

$6 x = - 3$ на

$6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Разделим каждый член

$6 x = - 3$ на

$6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 3}{6}$

Этап 9.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Сократим общий множитель

$6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 3}{6}$

Этап 9.3.2.1.2

Разделим

$x$ на

$1$ .

$x = \frac{- 3}{6}$

Этап 9.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Сократим общий множитель

$- 3$ и

$6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1.1

Вынесем множитель

$3$ из

$- 3$ .

$x = \frac{3 (- 1)}{6}$

Этап 9.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1.2.1

Вынесем множитель

$3$ из

$6$ .

$x = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}$

Этап 9.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}$

Этап 9.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 9.3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 10

Касательная, параллельная прямой, которая проходит через конечные точки

$a = - 2$ и

$b = 1$ , находится в точке

$x = - \frac{1}{2}$ .

Касательная в точке

$x = - \frac{1}{2}$ параллельна прямой, которая проходит через конечные точки

$a = - 2$ и

$b = 1$ .

Этап 11

Введите СВОЮ задачу