Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 x^{2} - 3 x + 1$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $4 x^{2} - 3 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.3.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$8 x - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$8 x - 3 + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $8 x - 3$ и $0$ .

$8 x - 3$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $8 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.2.3

Умножим $8$ на $1$ .

$f'' (x) = 8 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 8 + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $8$ и $0$ .

$f'' (x) = 8$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$8 x - 3 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $4 x^{2} - 3 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 4.1.2.3

Умножим $2$ на $4$ .

$f' (x) = 8 x + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 8 x - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 8 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 4.1.3.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f' (x) = 8 x - 3 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 8 x - 3 + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $8 x - 3$ и $0$ .

$f' (x) = 8 x - 3$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $8 x - 3$ .

$8 x - 3$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $8 x - 3 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$8 x - 3 = 0$

Этап 5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$8 x = 3$

Этап 5.3

Разделим каждый член $8 x = 3$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $8 x = 3$ на $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{3}{8}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x}{8} = \frac{3}{8}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{8}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{3}{8}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{3}{8}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$8$

Этап 9

$x = \frac{3}{8}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{3}{8}$ — локальный минимум

Этап 10

Найдем значение y, если $x = \frac{3}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3}{8}$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4 {(\frac{3}{8})}^{2} - 3 (\frac{3}{8}) + 1$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{8}$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4 (\frac{3^{2}}{8^{2}}) - 3 (\frac{3}{8}) + 1$

Этап 10.2.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4 (\frac{9}{8^{2}}) - 3 (\frac{3}{8}) + 1$

Этап 10.2.1.3

Возведем $8$ в степень $2$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4 (\frac{9}{64}) - 3 (\frac{3}{8}) + 1$

Этап 10.2.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $64$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4 (\frac{9}{4 (16)}) - 3 (\frac{3}{8}) + 1$

Этап 10.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3}{8}) = 4 (\frac{9}{4 \cdot 16}) - 3 (\frac{3}{8}) + 1$

Этап 10.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - 3 (\frac{3}{8}) + 1$

Этап 10.2.1.5

Умножим $- 3 (\frac{3}{8})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.5.1

Объединим $- 3$ и $\frac{3}{8}$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} + \frac{- 3 \cdot 3}{8} + 1$

Этап 10.2.1.5.2

Умножим $- 3$ на $3$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} + \frac{- 9}{8} + 1$

Этап 10.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - \frac{9}{8} + 1$

Этап 10.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Умножим $\frac{9}{8}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - (\frac{9}{8} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

Этап 10.2.2.2

Умножим $\frac{9}{8}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - \frac{9 \cdot 2}{8 \cdot 2} + 1$

Этап 10.2.2.3

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - \frac{9 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{1}{1}$

Этап 10.2.2.4

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - \frac{9 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{16}{16}$

Этап 10.2.2.5

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - \frac{9 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{16}{16}$

Этап 10.2.2.6

Изменим порядок множителей в $8 \cdot 2$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 8} + \frac{16}{16}$

Этап 10.2.2.7

Умножим $2$ на $8$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - \frac{9 \cdot 2}{16} + \frac{16}{16}$

Этап 10.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 + 16}{16}$

Этап 10.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.1

Умножим $- 9$ на $2$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9 - 18 + 16}{16}$

Этап 10.2.4.2

Вычтем $18$ из $9$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{- 9 + 16}{16}$

Этап 10.2.4.3

Добавим $- 9$ и $16$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{7}{16}$

Этап 10.2.5

Окончательный ответ: $\frac{7}{16}$ .

$y = \frac{7}{16}$

Этап 11

Это локальные экстремумы $f (x) = 4 x^{2} - 3 x + 1$ .

$(\frac{3}{8}, \frac{7}{16})$ — локальный минимум

Этап 12

Введите СВОЮ задачу