Математический анализ Примеры

f (x) = - 2 x^{3} - 3 x^{2}

$f (x) = - 2 x^{3} - 3 x^{2}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная

- 2 x^{3} - 3 x^{2}

$- 2 x^{3} - 3 x^{2}$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Этап 1.2

Найдем значение

\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку

- 2

$- 2$ является константой относительно

x

$x$ , производная

- 2 x^{3}

$- 2 x^{3}$ по

x

$x$ равна

- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 3

$n = 3$ .

- 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]

$- 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Этап 1.2.3

Умножим

3

$3$ на

- 2

$- 2$ .

- 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]

$- 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

- 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]

$- 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Этап 1.3

Найдем значение

\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку

- 3

$- 3$ является константой относительно

x

$x$ , производная

- 3 x^{2}

$- 3 x^{2}$ по

x

$x$ равна

- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

- 6 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$- 6 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 2

$n = 2$ .

- 6 x^{2} - 3 (2 x)

$- 6 x^{2} - 3 (2 x)$

Этап 1.3.3

Умножим

2

$2$ на

- 3

$- 3$ .

- 6 x^{2} - 6 x

$- 6 x^{2} - 6 x$

- 6 x^{2} - 6 x

$- 6 x^{2} - 6 x$

- 6 x^{2} - 6 x

$- 6 x^{2} - 6 x$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная

- 6 x^{2} - 6 x

$- 6 x^{2} - 6 x$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Этап 2.2

Найдем значение

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку

$- 6$ является константой относительно

$x$ , производная

$- 6 x^{2}$ по

$x$ равна

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = 2$ .

$f'' (x) = - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Этап 2.2.3

Умножим

$2$ на

$- 6$ .

$f'' (x) = - 12 x + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Этап 2.3

Найдем значение

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку

$- 6$ является константой относительно

$x$ , производная

$- 6 x$ по

$x$ равна

$- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x - 6 \frac{d}{d x} x$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x - 6 \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим

$- 6$ на

$1$ .

$f'' (x) = - 12 x - 6$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к

$0$ и решим полученное уравнение.

$- 6 x^{2} - 6 x = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная

$- 2 x^{3} - 3 x^{2}$ по

$x$ имеет вид

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Этап 4.1.2

Найдем значение

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку

$- 2$ является константой относительно

$x$ , производная

$- 2 x^{3}$ по

$x$ равна

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = 3$ .

$- 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Этап 4.1.2.3

Умножим

$3$ на

$- 2$ .

$- 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Этап 4.1.3

Найдем значение

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку

$- 3$ является константой относительно

$x$ , производная

$- 3 x^{2}$ по

$x$ равна

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 6 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = 2$ .

$- 6 x^{2} - 3 (2 x)$

Этап 4.1.3.3

Умножим

$2$ на

$- 3$ .

$f' (x) = - 6 x^{2} - 6 x$

Этап 4.2

Первая производная

$f (x)$ по

$x$ равна

$- 6 x^{2} - 6 x$ .

$- 6 x^{2} - 6 x$

Этап 5

Приравняем первую производную к

$0$ , затем найдем решение уравнения

$- 6 x^{2} - 6 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна

$0$ .

$- 6 x^{2} - 6 x = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель

$- 6 x$ из

$- 6 x^{2} - 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель

$- 6 x$ из

$- 6 x^{2}$ .

$- 6 x \cdot x - 6 x = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель

$- 6 x$ из

$- 6 x$ .

$- 6 x \cdot x - 6 x \cdot 1 = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель

$- 6 x$ из

$- 6 x (x) - 6 x (1)$ .

$- 6 x (x + 1) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен

$0$ , все выражение равно

$0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 5.4

Приравняем

$x$ к

$0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем

$x + 1$ к

$0$ , затем решим относительно

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем

$x + 1$ к

$0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 5.5.2

Вычтем

$1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых

$- 6 x (x + 1) = 0$ верно.

$x = 0, - 1$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, - 1$

Этап 8

Найдем вторую производную в

$x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 12 \cdot 0 - 6$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим

$- 12$ на

$0$ .

$0 - 6$

Этап 9.2

Вычтем

$6$ из

$0$ .

$- 6$

Этап 10

$x = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если

$x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$0$ .

$f (0) = - 2 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведение

$0$ в любую положительную степень дает

$0$ .

$f (0) = - 2 \cdot 0 - 3 {(0)}^{2}$

Этап 11.2.1.2

Умножим

$- 2$ на

$0$ .

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{2}$

Этап 11.2.1.3

Возведение

$0$ в любую положительную степень дает

$0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0$

Этап 11.2.1.4

Умножим

$- 3$ на

$0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Этап 11.2.2

Добавим

$0$ и

$0$ .

$f (0) = 0$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ:

$0$ .

$y = 0$

Этап 12

Найдем вторую производную в

$x = - 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 12 \cdot - 1 - 6$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим

$- 12$ на

$- 1$ .

$12 - 6$

Этап 13.2

Вычтем

$6$ из

$12$ .

$6$

Этап 14

$x = - 1$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 1$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если

$x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$- 1$ .

$f (- 1) = - 2 {(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2}$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Возведем

$- 1$ в степень

$3$ .

$f (- 1) = - 2 \cdot - 1 - 3 {(- 1)}^{2}$

Этап 15.2.1.2

Умножим

$- 2$ на

$- 1$ .

$f (- 1) = 2 - 3 {(- 1)}^{2}$

Этап 15.2.1.3

Возведем

$- 1$ в степень

$2$ .

$f (- 1) = 2 - 3 \cdot 1$

Этап 15.2.1.4

Умножим

$- 3$ на

$1$ .

$f (- 1) = 2 - 3$

Этап 15.2.2

Вычтем

$3$ из

$2$ .

$f (- 1) = - 1$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ:

$- 1$ .

$y = - 1$

Этап 16

Это локальные экстремумы

$f (x) = - 2 x^{3} - 3 x^{2}$ .

$(0, 0)$ — локальный максимум

$(- 1, - 1)$ — локальный минимум

Этап 17

Введите СВОЮ задачу