Математический анализ Примеры

$f (x) = - 5 x^{2} + 14 x + 3$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- 5 x^{2} + 14 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{2}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $- 5$ .

$- 10 x + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [14 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $14$ является константой относительно $x$ , производная $14 x$ по $x$ равна $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 x + 14 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 10 x + 14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.3.3

Умножим $14$ на $1$ .

$- 10 x + 14 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 10 x + 14 + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $- 10 x + 14$ и $0$ .

$- 10 x + 14$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 10 x + 14$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [14]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 10 x) + \frac{d}{d x} (14)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10 x$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (14)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (14)$

Этап 2.2.3

Умножим $- 10$ на $1$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{d}{d x} (14)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $14$ является константой относительно $x$ , производная $14$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 10 + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $- 10$ и $0$ .

$f'' (x) = - 10$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 10 x + 14 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $- 5 x^{2} + 14 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{2}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $2$ на $- 5$ .

$- 10 x + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [14 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $14$ является константой относительно $x$ , производная $14 x$ по $x$ равна $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 x + 14 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 10 x + 14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $14$ на $1$ .

$- 10 x + 14 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 10 x + 14 + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $- 10 x + 14$ и $0$ .

$f' (x) = - 10 x + 14$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 10 x + 14$ .

$- 10 x + 14$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 10 x + 14 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 10 x + 14 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $14$ из обеих частей уравнения.

$- 10 x = - 14$

Этап 5.3

Разделим каждый член $- 10 x = - 14$ на $- 10$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $- 10 x = - 14$ на $- 10$ .

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{- 14}{- 10}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{- 14}{- 10}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 14}{- 10}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $- 14$ и $- 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 14$ .

$x = \frac{- 2 (7)}{- 10}$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 10$ .

$x = \frac{- 2 \cdot 7}{- 2 \cdot 5}$

Этап 5.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{- 2 \cdot 7}{- 2 \cdot 5}$

Этап 5.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{7}{5}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{7}{5}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{7}{5}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 10$

Этап 9

$x = \frac{7}{5}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{7}{5}$ — локальный максимум

Этап 10

Найдем значение y, если $x = \frac{7}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{7}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = - 5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{7}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = - 5 \frac{7^{2}}{5^{2}} + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Этап 10.2.1.2

Возведем $7$ в степень $2$ .

$f (\frac{7}{5}) = - 5 \frac{49}{5^{2}} + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Этап 10.2.1.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (\frac{7}{5}) = - 5 (\frac{49}{25}) + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Этап 10.2.1.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.4.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$f (\frac{7}{5}) = 5 (- 1) (\frac{49}{25}) + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Этап 10.2.1.4.2

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$f (\frac{7}{5}) = 5 \cdot (- 1 \frac{49}{5 \cdot 5}) + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Этап 10.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{7}{5}) = 5 \cdot (- 1 \frac{49}{5 \cdot 5}) + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Этап 10.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{7}{5}) = - 1 (\frac{49}{5}) + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Этап 10.2.1.5

Перепишем $- 1 (\frac{49}{5})$ в виде $- (\frac{49}{5})$ .

$f (\frac{7}{5}) = - (\frac{49}{5}) + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Этап 10.2.1.6

Умножим $14 (\frac{7}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.6.1

Объединим $14$ и $\frac{7}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = - \frac{49}{5} + \frac{14 \cdot 7}{5} + 3$

Этап 10.2.1.6.2

Умножим $14$ на $7$ .

$f (\frac{7}{5}) = - \frac{49}{5} + \frac{98}{5} + 3$

Этап 10.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{7}{5}) = 3 + \frac{- 49 + 98}{5}$

Этап 10.2.2.2

Добавим $- 49$ и $98$ .

$f (\frac{7}{5}) = 3 + \frac{49}{5}$

Этап 10.2.3

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = 3 \cdot \frac{5}{5} + \frac{49}{5}$

Этап 10.2.4

Объединим $3$ и $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{3 \cdot 5}{5} + \frac{49}{5}$

Этап 10.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{3 \cdot 5 + 49}{5}$

Этап 10.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.6.1

Умножим $3$ на $5$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{15 + 49}{5}$

Этап 10.2.6.2

Добавим $15$ и $49$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{64}{5}$

Этап 10.2.7

Окончательный ответ: $\frac{64}{5}$ .

$y = \frac{64}{5}$

Этап 11

Это локальные экстремумы $f (x) = - 5 x^{2} + 14 x + 3$ .

$(\frac{7}{5}, \frac{64}{5})$ — локальный максимум

Этап 12

Введите СВОЮ задачу