Математический анализ Примеры
Этап 1
Этап 1.1
Найдем первую производную.
Этап 1.1.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.1.2
Найдем значение .
Этап 1.1.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.1.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.2.3
Умножим на .
Этап 1.1.3
Найдем значение .
Этап 1.1.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.1.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.3.3
Умножим на .
Этап 1.2
Найдем вторую производную.
Этап 1.2.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.2.2
Найдем значение .
Этап 1.2.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.2.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.2.2.3
Умножим на .
Этап 1.2.3
Найдем значение .
Этап 1.2.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.2.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.2.3.3
Умножим на .
Этап 1.3
Вторая производная по равна .
Этап 2
Этап 2.1
Пусть вторая производная равна .
Этап 2.2
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 2.3
Разделим каждый член на и упростим.
Этап 2.3.1
Разделим каждый член на .
Этап 2.3.2
Упростим левую часть.
Этап 2.3.2.1
Сократим общий множитель .
Этап 2.3.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 2.3.2.1.2
Разделим на .
Этап 2.3.3
Упростим правую часть.
Этап 2.3.3.1
Сократим общий множитель и .
Этап 2.3.3.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.3.3.1.2
Сократим общие множители.
Этап 2.3.3.1.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.3.3.1.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 2.3.3.1.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 2.4
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Этап 2.5
Упростим .
Этап 2.5.1
Перепишем в виде .
Этап 2.5.2
Любой корень из равен .
Этап 2.5.3
Умножим на .
Этап 2.5.4
Объединим и упростим знаменатель.
Этап 2.5.4.1
Умножим на .
Этап 2.5.4.2
Возведем в степень .
Этап 2.5.4.3
Возведем в степень .
Этап 2.5.4.4
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.5.4.5
Добавим и .
Этап 2.5.4.6
Перепишем в виде .
Этап 2.5.4.6.1
С помощью запишем в виде .
Этап 2.5.4.6.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 2.5.4.6.3
Объединим и .
Этап 2.5.4.6.4
Сократим общий множитель .
Этап 2.5.4.6.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 2.5.4.6.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 2.5.4.6.5
Найдем экспоненту.
Этап 2.6
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Этап 2.6.1
Сначала с помощью положительного значения найдем первое решение.
Этап 2.6.2
Затем, используя отрицательное значение , найдем второе решение.
Этап 2.6.3
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Этап 3
Этап 3.1
Подставим в , чтобы найти значение .
Этап 3.1.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 3.1.2
Упростим результат.
Этап 3.1.2.1
Упростим каждый член.
Этап 3.1.2.1.1
Применим правило умножения к .
Этап 3.1.2.1.2
Упростим числитель.
Этап 3.1.2.1.2.1
Перепишем в виде .
Этап 3.1.2.1.2.1.1
С помощью запишем в виде .
Этап 3.1.2.1.2.1.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 3.1.2.1.2.1.3
Объединим и .
Этап 3.1.2.1.2.1.4
Сократим общий множитель и .
Этап 3.1.2.1.2.1.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.1.2.1.2.1.4.2
Сократим общие множители.
Этап 3.1.2.1.2.1.4.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.1.2.1.2.1.4.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 3.1.2.1.2.1.4.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 3.1.2.1.2.1.4.2.4
Разделим на .
Этап 3.1.2.1.2.2
Возведем в степень .
Этап 3.1.2.1.3
Возведем в степень .
Этап 3.1.2.1.4
Сократим общий множитель и .
Этап 3.1.2.1.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.1.2.1.4.2
Сократим общие множители.
Этап 3.1.2.1.4.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.1.2.1.4.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 3.1.2.1.4.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 3.1.2.1.5
Объединим и .
Этап 3.1.2.1.6
Применим правило умножения к .
Этап 3.1.2.1.7
Перепишем в виде .
Этап 3.1.2.1.7.1
С помощью запишем в виде .
Этап 3.1.2.1.7.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 3.1.2.1.7.3
Объединим и .
Этап 3.1.2.1.7.4
Сократим общий множитель .
Этап 3.1.2.1.7.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 3.1.2.1.7.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 3.1.2.1.7.5
Найдем экспоненту.
Этап 3.1.2.1.8
Возведем в степень .
Этап 3.1.2.1.9
Сократим общий множитель и .
Этап 3.1.2.1.9.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.1.2.1.9.2
Сократим общие множители.
Этап 3.1.2.1.9.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.1.2.1.9.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 3.1.2.1.9.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 3.1.2.1.10
Объединим и .
Этап 3.1.2.1.11
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 3.1.2.2
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 3.1.2.3
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Этап 3.1.2.3.1
Умножим на .
Этап 3.1.2.3.2
Умножим на .
Этап 3.1.2.4
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 3.1.2.5
Упростим числитель.
Этап 3.1.2.5.1
Умножим на .
Этап 3.1.2.5.2
Вычтем из .
Этап 3.1.2.6
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 3.1.2.7
Окончательный ответ: .
Этап 3.2
Подставляя в , найдем точку . Эта точка может быть точкой перегиба.
Этап 3.3
Подставим в , чтобы найти значение .
Этап 3.3.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 3.3.2
Упростим результат.
Этап 3.3.2.1
Упростим каждый член.
Этап 3.3.2.1.1
Применим правило степени для распределения показателей.
Этап 3.3.2.1.1.1
Применим правило умножения к .
Этап 3.3.2.1.1.2
Применим правило умножения к .
Этап 3.3.2.1.2
Возведем в степень .
Этап 3.3.2.1.3
Умножим на .
Этап 3.3.2.1.4
Упростим числитель.
Этап 3.3.2.1.4.1
Перепишем в виде .
Этап 3.3.2.1.4.1.1
С помощью запишем в виде .
Этап 3.3.2.1.4.1.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 3.3.2.1.4.1.3
Объединим и .
Этап 3.3.2.1.4.1.4
Сократим общий множитель и .
Этап 3.3.2.1.4.1.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.3.2.1.4.1.4.2
Сократим общие множители.
Этап 3.3.2.1.4.1.4.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.3.2.1.4.1.4.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 3.3.2.1.4.1.4.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 3.3.2.1.4.1.4.2.4
Разделим на .
Этап 3.3.2.1.4.2
Возведем в степень .
Этап 3.3.2.1.5
Возведем в степень .
Этап 3.3.2.1.6
Сократим общий множитель и .
Этап 3.3.2.1.6.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.3.2.1.6.2
Сократим общие множители.
Этап 3.3.2.1.6.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.3.2.1.6.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 3.3.2.1.6.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 3.3.2.1.7
Объединим и .
Этап 3.3.2.1.8
Применим правило степени для распределения показателей.
Этап 3.3.2.1.8.1
Применим правило умножения к .
Этап 3.3.2.1.8.2
Применим правило умножения к .
Этап 3.3.2.1.9
Возведем в степень .
Этап 3.3.2.1.10
Умножим на .
Этап 3.3.2.1.11
Перепишем в виде .
Этап 3.3.2.1.11.1
С помощью запишем в виде .
Этап 3.3.2.1.11.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 3.3.2.1.11.3
Объединим и .
Этап 3.3.2.1.11.4
Сократим общий множитель .
Этап 3.3.2.1.11.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 3.3.2.1.11.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 3.3.2.1.11.5
Найдем экспоненту.
Этап 3.3.2.1.12
Возведем в степень .
Этап 3.3.2.1.13
Сократим общий множитель и .
Этап 3.3.2.1.13.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.3.2.1.13.2
Сократим общие множители.
Этап 3.3.2.1.13.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.3.2.1.13.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 3.3.2.1.13.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 3.3.2.1.14
Объединим и .
Этап 3.3.2.1.15
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 3.3.2.2
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 3.3.2.3
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Этап 3.3.2.3.1
Умножим на .
Этап 3.3.2.3.2
Умножим на .
Этап 3.3.2.4
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 3.3.2.5
Упростим числитель.
Этап 3.3.2.5.1
Умножим на .
Этап 3.3.2.5.2
Вычтем из .
Этап 3.3.2.6
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 3.3.2.7
Окончательный ответ: .
Этап 3.4
Подставляя в , найдем точку . Эта точка может быть точкой перегиба.
Этап 3.5
Определим точки, которые могут быть точками перегиба.
Этап 4
Разобьем на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.
Этап 5
Этап 5.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 5.2
Упростим результат.
Этап 5.2.1
Упростим каждый член.
Этап 5.2.1.1
Возведем в степень .
Этап 5.2.1.2
Умножим на .
Этап 5.2.2
Вычтем из .
Этап 5.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 5.3
При вторая производная имеет вид . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале .
Возрастание в области , так как
Возрастание в области , так как
Этап 6
Этап 6.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 6.2
Упростим результат.
Этап 6.2.1
Упростим каждый член.
Этап 6.2.1.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 6.2.1.2
Умножим на .
Этап 6.2.2
Вычтем из .
Этап 6.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 6.3
При вторая производная имеет вид . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале .
Убывание на , так как
Убывание на , так как
Этап 7
Этап 7.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 7.2
Упростим результат.
Этап 7.2.1
Упростим каждый член.
Этап 7.2.1.1
Возведем в степень .
Этап 7.2.1.2
Умножим на .
Этап 7.2.2
Вычтем из .
Этап 7.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 7.3
При вторая производная имеет вид . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале .
Возрастание в области , так как
Возрастание в области , так как
Этап 8
An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are .
Этап 9