Математический анализ Примеры

f (x) = x^{5} - 4

$f (x) = x^{5} - 4$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная

x^{5} - 4

$x^{5} - 4$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4]

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4]

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 5

$n = 5$ .

5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4]

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.3

Поскольку

- 4

$- 4$ является константой относительно

x

$x$ , производная

- 4

$- 4$ относительно

x

$x$ равна

0

$0$ .

5 x^{4} + 0

$5 x^{4} + 0$

Этап 1.1.4

Добавим

5 x^{4}

$5 x^{4}$ и

0

$0$ .

$f' (x) = 5 x^{4}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку

$5$ является константой относительно

$x$ , производная

$5 x^{4}$ по

$x$ равна

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = 4$ .

$5 (4 x^{3})$

Этап 1.2.3

Умножим

$4$ на

$5$ .

$f'' (x) = 20 x^{3}$

Этап 1.3

Вторая производная

$f (x)$ по

$x$ равна

$20 x^{3}$ .

$20 x^{3}$

Этап 2

Приравняем вторую производную к

$0$ , затем найдем решение уравнения

$20 x^{3} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна

$0$ .

$20 x^{3} = 0$

Этап 2.2

Разделим каждый член

$20 x^{3} = 0$ на

$20$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член

$20 x^{3} = 0$ на

$20$ .

$\frac{20 x^{3}}{20} = \frac{0}{20}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель

$20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{20 x^{3}}{20} = \frac{0}{20}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим

$x^{3}$ на

$1$ .

$x^{3} = \frac{0}{20}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим

$0$ на

$20$ .

$x^{3} = 0$

Этап 2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 2.4

Упростим

$\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем

$0$ в виде

$0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим

$0$ в

$f (x) = x^{5} - 4$ , чтобы найти значение

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$0$ .

$f (0) = {(0)}^{5} - 4$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Возведение

$0$ в любую положительную степень дает

$0$ .

$f (0) = 0 - 4$

Этап 3.1.2.2

Вычтем

$4$ из

$0$ .

$f (0) = - 4$

Этап 3.1.2.3

Окончательный ответ:

$- 4$ .

$- 4$

Этап 3.2

Подставляя

$0$ в

$f (x) = x^{5} - 4$ , найдем точку

$(0, - 4)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, - 4)$

Этап 4

Разобьем

$(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала

$(- \infty, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 20 {(- 0.1)}^{3}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возведем

$- 0.1$ в степень

$3$ .

$f'' (- 0.1) = 20 \cdot - 0.001$

Этап 5.2.2

Умножим

$20$ на

$- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.02$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ:

$- 0.02$ .

$- 0.02$

Этап 5.3

При

$- 0.1$ вторая производная имеет вид

$- 0.02$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале

$(- \infty, 0)$ .

Убывание на

$(- \infty, 0)$ , так как

$f'' (x) < 0$

Убывание на

$(- \infty, 0)$ , так как

$f'' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала

$(0, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$0.1$ .

$f'' (0.1) = 20 {(0.1)}^{3}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возведем

$0.1$ в степень

$3$ .

$f'' (0.1) = 20 \cdot 0.001$

Этап 6.2.2

Умножим

$20$ на

$0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.02$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ:

$0.02$ .

$0.02$

Этап 6.3

При

$0.1$ вторая производная имеет вид

$0.02$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале

$(0, \infty)$ .

Возрастание в области

$(0, \infty)$ , так как

$f'' (x) > 0$

Возрастание в области

$(0, \infty)$ , так как

$f'' (x) > 0$

Этап 7

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка

$(0, - 4)$ .

$(0, - 4)$

Этап 8

Введите СВОЮ задачу