Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 x^{3} - 5 x^{2}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $5 x^{3} - 5 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{3}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{2}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$15 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$15 x^{2} - 5 (2 x)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 5$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 10 x$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $15 x^{2} - 10 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 x^{2}$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$15 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Этап 1.2.2.3

Умножим $2$ на $15$ .

$30 x + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10 x$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 x - 10 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$30 x - 10 \cdot 1$

Этап 1.2.3.3

Умножим $- 10$ на $1$ .

$f'' (x) = 30 x - 10$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $30 x - 10$ .

$30 x - 10$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $30 x - 10 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$30 x - 10 = 0$

Этап 2.2

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$30 x = 10$

Этап 2.3

Разделим каждый член $30 x = 10$ на $30$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $30 x = 10$ на $30$ .

$\frac{30 x}{30} = \frac{10}{30}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{30 x}{30} = \frac{10}{30}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{10}{30}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Сократим общий множитель $10$ и $30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Вынесем множитель $10$ из $10$ .

$x = \frac{10 (1)}{30}$

Этап 2.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $10$ из $30$ .

$x = \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 3}$

Этап 2.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 3}$

Этап 2.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{1}{3}$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $\frac{1}{3}$ в $f (x) = 5 x^{3} - 5 x^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = 5 {(\frac{1}{3})}^{3} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = 5 (\frac{1^{3}}{3^{3}}) - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1}{3}) = 5 (\frac{1}{3^{3}}) - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = 5 (\frac{1}{27}) - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.4

Объединим $5$ и $\frac{1}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.5

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - 5 \frac{1^{2}}{3^{2}}$

Этап 3.1.2.1.6

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - 5 \frac{1}{3^{2}}$

Этап 3.1.2.1.7

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - 5 (\frac{1}{9})$

Этап 3.1.2.1.8

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} + \frac{- 5}{9}$

Этап 3.1.2.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - \frac{5}{9}$

Этап 3.1.2.2

Чтобы записать $- \frac{5}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - \frac{5}{9} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.1.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $27$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Умножим $\frac{5}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3}$

Этап 3.1.2.3.2

Умножим $9$ на $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - \frac{5 \cdot 3}{27}$

Этап 3.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5 - 5 \cdot 3}{27}$

Этап 3.1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.1

Умножим $- 5$ на $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5 - 15}{27}$

Этап 3.1.2.5.2

Вычтем $15$ из $5$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 10}{27}$

Этап 3.1.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{1}{3}) = - \frac{10}{27}$

Этап 3.1.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{10}{27}$ .

$- \frac{10}{27}$

Этап 3.2

Подставляя $\frac{1}{3}$ в $f (x) = 5 x^{3} - 5 x^{2}$ , найдем точку $(\frac{1}{3}, - \frac{10}{27})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\frac{1}{3}, - \frac{10}{27})$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, \frac{1}{3})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.2\overline{3}$ .

$f'' (0.2\overline{3}) = 30 (0.2\overline{3}) - 10$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $30$ на $0.2\overline{3}$ .

$f'' (0.2\overline{3}) = 7 - 10$

Этап 5.2.2

Вычтем $10$ из $7$ .

$f'' (0.2\overline{3}) = - 3$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 3$ .

$- 3$

Этап 5.3

При $0.2\overline{3}$ вторая производная имеет вид $- 3$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, \frac{1}{3})$ .

Убывание на $(- \infty, \frac{1}{3})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(\frac{1}{3}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.4\overline{3}$ .

$f'' (0.4\overline{3}) = 30 (0.4\overline{3}) - 10$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $30$ на $0.4\overline{3}$ .

$f'' (0.4\overline{3}) = 13 - 10$

Этап 6.2.2

Вычтем $10$ из $13$ .

$f'' (0.4\overline{3}) = 3$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 6.3

При $0.4\overline{3}$ вторая производная имеет вид $3$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(\frac{1}{3}, \infty)$ .

Возрастание в области $(\frac{1}{3}, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(\frac{1}{3}, - \frac{10}{27})$ .

$(\frac{1}{3}, - \frac{10}{27})$

Этап 8

Введите СВОЮ задачу