Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{2} - 1$ , $[1, 3]$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.1.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 x + 0$

Этап 1.1.1.3.2

Добавим $6 x$ и $0$ .

$f' (x) = 6 x$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 x$ .

$6 x$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$6 x = 0$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $6 x = 0$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $6 x = 0$ на $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{6}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Разделим $0$ на $6$ .

$x = 0$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 1.4

Вычислим $3 x^{2} - 1$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$3 {(0)}^{2} - 1$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 \cdot 0 - 1$

Этап 1.4.1.2.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$0 - 1$

Этап 1.4.1.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$- 1$

Этап 1.4.2

Перечислим все точки.

$(0, - 1)$

Этап 2

Исключим точки, которые не принадлежат данному интервалу.

Этап 3

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$3 {(1)}^{2} - 1$

Этап 3.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$3 \cdot 1 - 1$

Этап 3.1.2.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$3 - 1$

Этап 3.1.2.2

Вычтем $1$ из $3$ .

$2$

Этап 3.2

Найдем значение в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Подставим $3$ вместо $x$ .

$3 {(3)}^{2} - 1$

Этап 3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Умножим $3$ на ${(3)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Умножим $3$ на ${(3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$3^{1} {(3)}^{2} - 1$

Этап 3.2.2.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3^{1 + 2} - 1$

Этап 3.2.2.1.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$3^{3} - 1$

Этап 3.2.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 - 1$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $1$ из $27$ .

$26$

Этап 3.3

Перечислим все точки.

$(1, 2), (3, 26)$

Этап 4

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(3, 26)$

Абсолютный минимум: $(1, 2)$

Этап 5

Введите СВОЮ задачу