Математический анализ Примеры

y = x^{2} + 3 x - 9

$y = x^{2} + 3 x - 9$ ,

(3, 9)

$(3, 9)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках

x = 3

$x = 3$ и

y = 9

$y = 9$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная

x^{2} + 3 x - 9

$x^{2} + 3 x - 9$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 2

$n = 2$ .

2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]

$2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]

$2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 1.2

Найдем значение

\frac{d}{d x} [3 x]

$\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку

3

$3$ является константой относительно

x

$x$ , производная

3 x

$3 x$ по

x

$x$ равна

3 \frac{d}{d x} [x]

$3 \frac{d}{d x} [x]$ .

2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]

$2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]

$2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 1.2.3

Умножим

3

$3$ на

1

$1$ .

2 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 9]

$2 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 9]$

2 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 9]

$2 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку

- 9

$- 9$ является константой относительно

x

$x$ , производная

- 9

$- 9$ относительно

x

$x$ равна

0

$0$ .

2 x + 3 + 0

$2 x + 3 + 0$

Этап 1.3.2

Добавим

2 x + 3

$2 x + 3$ и

0

$0$ .

2 x + 3

$2 x + 3$

2 x + 3

$2 x + 3$

Этап 1.4

Найдем производную в

x = 3

$x = 3$ .

2 (3) + 3

$2 (3) + 3$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим

2

$2$ на

3

$3$ .

6 + 3

$6 + 3$

Этап 1.5.2

Добавим

6

$6$ и

3

$3$ .

9

$9$

9

$9$

9

$9$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно

y

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент

9

$9$ и координаты заданной точки

(3, 9)

$(3, 9)$ вместо

x_{1}

$x_{1}$ и

y_{1}

$y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой

y - y_{1} = m (x - x_{1})

$y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

y - (9) = 9 \cdot (x - (3))

$y - (9) = 9 \cdot (x - (3))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

y - 9 = 9 \cdot (x - 3)

$y - 9 = 9 \cdot (x - 3)$

Этап 2.3

Решим относительно

y

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим

9 \cdot (x - 3)

$9 \cdot (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

y - 9 = 0 + 0 + 9 \cdot (x - 3)

$y - 9 = 0 + 0 + 9 \cdot (x - 3)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

y - 9 = 9 \cdot (x - 3)

$y - 9 = 9 \cdot (x - 3)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

y - 9 = 9 x + 9 \cdot - 3

$y - 9 = 9 x + 9 \cdot - 3$

Этап 2.3.1.4

Умножим

9

$9$ на

- 3

$- 3$ .

y - 9 = 9 x - 27

$y - 9 = 9 x - 27$

y - 9 = 9 x - 27

$y - 9 = 9 x - 27$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без

y

$y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим

9

$9$ к обеим частям уравнения.

y = 9 x - 27 + 9

$y = 9 x - 27 + 9$

Этап 2.3.2.2

Добавим

- 27

$- 27$ и

9

$9$ .

y = 9 x - 18

$y = 9 x - 18$

y = 9 x - 18

$y = 9 x - 18$

y = 9 x - 18

$y = 9 x - 18$

y = 9 x - 18

$y = 9 x - 18$

Этап 3

Введите СВОЮ задачу