Математический анализ Примеры

y = x^{2} - 5 x + 6

$y = x^{2} - 5 x + 6$

Этап 1

Примем

y

$y$ как функцию

x

$x$ .

f (x) = x^{2} - 5 x + 6

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

Этап 2

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная

x^{2} - 5 x + 6

$x^{2} - 5 x + 6$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 2

$n = 2$ .

2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]

$2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]$

2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]

$2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 2.2

Найдем значение

\frac{d}{d x} [- 5 x]

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку

- 5

$- 5$ является константой относительно

x

$x$ , производная

- 5 x

$- 5 x$ по

x

$x$ равна

- 5 \frac{d}{d x} [x]

$- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

2 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]

$2 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]

$2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 2.2.3

Умножим

- 5

$- 5$ на

1

$1$ .

2 x - 5 + \frac{d}{d x} [6]

$2 x - 5 + \frac{d}{d x} [6]$

2 x - 5 + \frac{d}{d x} [6]

$2 x - 5 + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку

6

$6$ является константой относительно

x

$x$ , производная

6

$6$ относительно

x

$x$ равна

0

$0$ .

2 x - 5 + 0

$2 x - 5 + 0$

Этап 2.3.2

Добавим

2 x - 5

$2 x - 5$ и

0

$0$ .

2 x - 5

$2 x - 5$

2 x - 5

$2 x - 5$

2 x - 5

$2 x - 5$

Этап 3

Приравняем производную к

0

$0$ , затем найдем решение уравнения

2 x - 5 = 0

$2 x - 5 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим

5

$5$ к обеим частям уравнения.

2 x = 5

$2 x = 5$

Этап 3.2

Разделим каждый член

2 x = 5

$2 x = 5$ на

2

$2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член

2 x = 5

$2 x = 5$ на

2

$2$ .

\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим

x

$x$ на

1

$1$ .

x = \frac{5}{2}

$x = \frac{5}{2}$

x = \frac{5}{2}

$x = \frac{5}{2}$

x = \frac{5}{2}

$x = \frac{5}{2}$

x = \frac{5}{2}

$x = \frac{5}{2}$

x = \frac{5}{2}

$x = \frac{5}{2}$

Этап 4

Решим исходную функцию

f (x) = x^{2} - 5 x + 6

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ в точке

x = \frac{5}{2}

$x = \frac{5}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную

x

$x$ на

\frac{5}{2}

$\frac{5}{2}$ .

f (\frac{5}{2}) = {(\frac{5}{2})}^{2} - 5 (\frac{5}{2}) + 6

$f (\frac{5}{2}) = {(\frac{5}{2})}^{2} - 5 (\frac{5}{2}) + 6$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим правило умножения к

\frac{5}{2}

$\frac{5}{2}$ .

f (\frac{5}{2}) = \frac{5^{2}}{2^{2}} - 5 (\frac{5}{2}) + 6

$f (\frac{5}{2}) = \frac{5^{2}}{2^{2}} - 5 (\frac{5}{2}) + 6$

Этап 4.2.1.2

Возведем

5

$5$ в степень

2

$2$ .

f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{2^{2}} - 5 (\frac{5}{2}) + 6

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{2^{2}} - 5 (\frac{5}{2}) + 6$

Этап 4.2.1.3

Возведем

2

$2$ в степень

2

$2$ .

f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - 5 (\frac{5}{2}) + 6

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - 5 (\frac{5}{2}) + 6$

Этап 4.2.1.4

Умножим

- 5 (\frac{5}{2})

$- 5 (\frac{5}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.1

Объединим

- 5

$- 5$ и

\frac{5}{2}

$\frac{5}{2}$ .

f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} + \frac{- 5 \cdot 5}{2} + 6

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} + \frac{- 5 \cdot 5}{2} + 6$

Этап 4.2.1.4.2

Умножим

- 5

$- 5$ на

5

$5$ .

f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} + \frac{- 25}{2} + 6

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} + \frac{- 25}{2} + 6$

f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} + \frac{- 25}{2} + 6

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} + \frac{- 25}{2} + 6$

Этап 4.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 6

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 6$

f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 6

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 6$

Этап 4.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим

\frac{25}{2}

$\frac{25}{2}$ на

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - (\frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 6

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - (\frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 6$

Этап 4.2.2.2

Умножим

\frac{25}{2}

$\frac{25}{2}$ на

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 6

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 6$

Этап 4.2.2.3

Запишем

6

$6$ в виде дроби со знаменателем

1

$1$ .

f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{6}{1}

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{6}{1}$

Этап 4.2.2.4

Умножим

\frac{6}{1}

$\frac{6}{1}$ на

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{6}{1} \cdot \frac{4}{4}

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{6}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 4.2.2.5

Умножим

\frac{6}{1}

$\frac{6}{1}$ на

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{6 \cdot 4}{4}

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{6 \cdot 4}{4}$

Этап 4.2.2.6

Умножим

2

$2$ на

2

$2$ .

f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{4} + \frac{6 \cdot 4}{4}

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{4} + \frac{6 \cdot 4}{4}$

f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{4} + \frac{6 \cdot 4}{4}

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{4} + \frac{6 \cdot 4}{4}$

Этап 4.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

f (\frac{5}{2}) = \frac{25 - 25 \cdot 2 + 6 \cdot 4}{4}

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25 - 25 \cdot 2 + 6 \cdot 4}{4}$

Этап 4.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Умножим

- 25

$- 25$ на

2

$2$ .

f (\frac{5}{2}) = \frac{25 - 50 + 6 \cdot 4}{4}

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25 - 50 + 6 \cdot 4}{4}$

Этап 4.2.4.2

Умножим

6

$6$ на

4

$4$ .

f (\frac{5}{2}) = \frac{25 - 50 + 24}{4}

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25 - 50 + 24}{4}$

f (\frac{5}{2}) = \frac{25 - 50 + 24}{4}

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25 - 50 + 24}{4}$

Этап 4.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Вычтем

50

$50$ из

25

$25$ .

f (\frac{5}{2}) = \frac{- 25 + 24}{4}

$f (\frac{5}{2}) = \frac{- 25 + 24}{4}$

Этап 4.2.5.2

Добавим

- 25

$- 25$ и

24

$24$ .

f (\frac{5}{2}) = \frac{- 1}{4}

$f (\frac{5}{2}) = \frac{- 1}{4}$

Этап 4.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

f (\frac{5}{2}) = - \frac{1}{4}

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{1}{4}$

f (\frac{5}{2}) = - \frac{1}{4}

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{1}{4}$

Этап 4.2.6

Окончательный ответ:

- \frac{1}{4}

$- \frac{1}{4}$ .

- \frac{1}{4}

$- \frac{1}{4}$

- \frac{1}{4}

$- \frac{1}{4}$

- \frac{1}{4}

$- \frac{1}{4}$

Этап 5

Горизонтальная касательной к графику функции

f (x) = x^{2} - 5 x + 6

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ :

y = - \frac{1}{4}

$y = - \frac{1}{4}$ .

y = - \frac{1}{4}

$y = - \frac{1}{4}$

Этап 6

Введите СВОЮ задачу