Математический анализ Примеры

lim x \to \infty \frac{6 x^{4} - 5 x^{2}}{7 x^{4} + 14}

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{4} - 5 x^{2}}{7 x^{4} + 14}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

\frac{lim x \to \infty 6 x^{4} - 5 x^{2}}{lim x \to \infty 7 x^{4} + 14}

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 x^{4} - 5 x^{2}}{lim_{x \to \infty} 7 x^{4} + 14}$

Этап 1.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

\frac{\infty}{lim x \to \infty 7 x^{4} + 14}

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 7 x^{4} + 14}$

Этап 1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2

Поскольку

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

lim x \to \infty \frac{6 x^{4} - 5 x^{2}}{7 x^{4} + 14} = lim x \to \infty \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{4} - 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{4} - 5 x^{2}}{7 x^{4} + 14} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{4} - 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

lim x \to \infty \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{4} - 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{4} - 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная

6 x^{4} - 5 x^{2}

$6 x^{4} - 5 x^{2}$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

lim x \to \infty \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Этап 3.3

Найдем значение

\frac{d}{d x} [6 x^{4}]

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку

6

$6$ является константой относительно

x

$x$ , производная

6 x^{4}

$6 x^{4}$ по

x

$x$ равна

6 \frac{d}{d x} [x^{4}]

$6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

lim x \to \infty \frac{6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}

$lim_{x \to \infty} \frac{6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 4

$n = 4$ .

lim x \to \infty \frac{6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}

$lim_{x \to \infty} \frac{6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Этап 3.3.3

Умножим

4

$4$ на

6

$6$ .

lim x \to \infty \frac{24 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

lim x \to \infty \frac{24 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Этап 3.4

Найдем значение

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку

$- 5$ является константой относительно

$x$ , производная

$- 5 x^{2}$ по

$x$ равна

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 5 (2 x)}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Этап 3.4.3

Умножим

$2$ на

$- 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Этап 3.5

По правилу суммы производная

$7 x^{4} + 14$ по

$x$ имеет вид

$\frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [14]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{\frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [14]}$

Этап 3.6

Найдем значение

$\frac{d}{d x} [7 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Поскольку

$7$ является константой относительно

$x$ , производная

$7 x^{4}$ по

$x$ равна

$7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{7 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [14]}$

Этап 3.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{7 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [14]}$

Этап 3.6.3

Умножим

$4$ на

$7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3} + \frac{d}{d x} [14]}$

Этап 3.7

Поскольку

$14$ является константой относительно

$x$ , производная

$14$ относительно

$x$ равна

$0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3} + 0}$

Этап 3.8

Добавим

$28 x^{3}$ и

$0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3}}$

Этап 4

Вынесем член

$\frac{1}{28}$ из-под знака предела, так как он не зависит от

$x$ .

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{x^{3}}$

Этап 5

Разделим числитель и знаменатель на

$x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е.

$x^{3}$ .

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{24 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 10 x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Сократим общий множитель

$x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{24 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 10 x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Этап 6.1.1.2

Разделим

$24$ на

$1$ .

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{- 10 x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Этап 6.1.2

Сократим общий множитель

$x$ и

$x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Вынесем множитель

$x$ из

$- 10 x$ .

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{x \cdot - 10}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Этап 6.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.2.1

Вынесем множитель

$x$ из

$x^{3}$ .

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{x \cdot - 10}{x \cdot x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Этап 6.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{x \cdot - 10}{x \cdot x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Этап 6.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{- 10}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Этап 6.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 - \frac{10}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель

$x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 - \frac{10}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Этап 6.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 - \frac{10}{x^{2}}}{1}$

Этап 6.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении

$x$ к

$\infty$ .

$\frac{1}{28} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 24 - \frac{10}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 6.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении

$x$ к

$\infty$ .

$\frac{1}{28} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 24 - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 6.5

Найдем предел

$24$ , который является константой по мере приближения

$x$ к

$\infty$ .

$\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 6.6

Вынесем член

$10$ из-под знака предела, так как он не зависит от

$x$ .

$\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь

$\frac{1}{x^{2}}$ стремится к

$0$ .

$\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - 10 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 8

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел

$1$ , который является константой по мере приближения

$x$ к

$\infty$ .

$\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - 10 \cdot 0}{1}$

Этап 8.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Разделим

$24 - 10 \cdot 0$ на

$1$ .

$\frac{1}{28} (24 - 10 \cdot 0)$

Этап 8.2.2

Умножим

$- 10$ на

$0$ .

$\frac{1}{28} (24 + 0)$

Этап 8.2.3

Добавим

$24$ и

$0$ .

$\frac{1}{28} \cdot 24$

Этап 8.2.4

Сократим общий множитель

$4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Вынесем множитель

$4$ из

$28$ .

$\frac{1}{4 (7)} \cdot 24$

Этап 8.2.4.2

Вынесем множитель

$4$ из

$24$ .

$\frac{1}{4 \cdot 7} \cdot (4 \cdot 6)$

Этап 8.2.4.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 \cdot 7} \cdot (4 \cdot 6)$

Этап 8.2.4.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{7} \cdot 6$

Этап 8.2.5

Объединим

$\frac{1}{7}$ и

$6$ .

$\frac{6}{7}$

Введите СВОЮ задачу