Математический анализ Примеры

f (x) = \frac{1}{x}

$f (x) = \frac{1}{x}$ ,

[- 6, 6]

$[- 6, 6]$

Этап 1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ в виде

x^{- 1}

$x^{- 1}$ .

\frac{d}{d x} [x^{- 1}]

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = - 1

$n = - 1$ .

- x^{- 2}

$- x^{- 2}$

Этап 1.1.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная

f (x)

$f (x)$ по

x

$x$ равна

- \frac{1}{x^{2}}

$- \frac{1}{x^{2}}$ .

- \frac{1}{x^{2}}

$- \frac{1}{x^{2}}$

- \frac{1}{x^{2}}

$- \frac{1}{x^{2}}$

Этап 2

Выясним, является ли производная непрерывной на

[- 6, 6]

$[- 6, 6]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы проверить непрерывность функции на промежутке

[- 6, 6]

$[- 6, 6]$ , найдем область определения

f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Зададим знаменатель в

\frac{1}{x^{2}}

$\frac{1}{x^{2}}$ равным

0

$0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

x^{2} = 0

$x^{2} = 0$

Этап 2.1.2

Решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

x = \pm \sqrt{0}

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 2.1.2.2

Упростим

\pm \sqrt{0}

$\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Перепишем

0

$0$ в виде

0^{2}

$0^{2}$ .

x = \pm \sqrt{0^{2}}

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.1.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

x = \pm 0

$x = \pm 0$

Этап 2.1.2.2.3

Плюс или минус

0

$0$ равно

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

Этап 2.1.3

Область определения ― это все значения

x

$x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

(- \infty, 0) \cup (0, \infty)

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

{x | x \neq 0}

${x | x \neq 0}$

Интервальное представление:

(- \infty, 0) \cup (0, \infty)

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

{x | x \neq 0}

${x | x \neq 0}$

Этап 2.2

f' (x)

$f' (x)$ не непрерывное выражение в области

[- 6, 6]

$[- 6, 6]$ , так как

0

$0$ не входит в область определения

f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$ .

Функция не является непрерывной.

Этап 3

Функция не является дифференцируемой на

[- 6, 6]

$[- 6, 6]$ , поскольку производная

- \frac{1}{x^{2}}

$- \frac{1}{x^{2}}$ не является непрерывной на

[- 6, 6]

$[- 6, 6]$ .

Функция не является дифференцируемой.

Этап 4

Введите СВОЮ задачу