Математический анализ Примеры

\frac{2 x + 6}{x} < 1

$\frac{2 x + 6}{x} < 1$

Этап 1

Вычтем

1

$1$ из обеих частей неравенства.

\frac{2 x + 6}{x} - 1 < 0

$\frac{2 x + 6}{x} - 1 < 0$

Этап 2

Упростим

\frac{2 x + 6}{x} - 1

$\frac{2 x + 6}{x} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

2 x + 6

$2 x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

2 x

$2 x$ .

\frac{2 (x) + 6}{x} - 1 < 0

$\frac{2 (x) + 6}{x} - 1 < 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель

2

$2$ из

6

$6$ .

\frac{2 x + 2 \cdot 3}{x} - 1 < 0

$\frac{2 x + 2 \cdot 3}{x} - 1 < 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель

2

$2$ из

2 x + 2 \cdot 3

$2 x + 2 \cdot 3$ .

\frac{2 (x + 3)}{x} - 1 < 0

$\frac{2 (x + 3)}{x} - 1 < 0$

\frac{2 (x + 3)}{x} - 1 < 0

$\frac{2 (x + 3)}{x} - 1 < 0$

Этап 2.2

Чтобы записать

- 1

$- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{x}{x}

$\frac{x}{x}$ .

\frac{2 (x + 3)}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x} < 0

$\frac{2 (x + 3)}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x} < 0$

Этап 2.3

Объединим

- 1

$- 1$ и

\frac{x}{x}

$\frac{x}{x}$ .

\frac{2 (x + 3)}{x} + \frac{- x}{x} < 0

$\frac{2 (x + 3)}{x} + \frac{- x}{x} < 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

\frac{2 (x + 3) - x}{x} < 0

$\frac{2 (x + 3) - x}{x} < 0$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

\frac{2 x + 2 \cdot 3 - x}{x} < 0

$\frac{2 x + 2 \cdot 3 - x}{x} < 0$

Этап 2.5.2

Умножим

2

$2$ на

3

$3$ .

\frac{2 x + 6 - x}{x} < 0

$\frac{2 x + 6 - x}{x} < 0$

Этап 2.5.3

Вычтем

x

$x$ из

2 x

$2 x$ .

\frac{x + 6}{x} < 0

$\frac{x + 6}{x} < 0$

\frac{x + 6}{x} < 0

$\frac{x + 6}{x} < 0$

\frac{x + 6}{x} < 0

$\frac{x + 6}{x} < 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к

0

$0$ и решим.

x = 0

$x = 0$

x + 6 = 0

$x + 6 = 0$

Этап 4

Вычтем

6

$6$ из обеих частей уравнения.

x = - 6

$x = - 6$

Этап 5

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

x = 0

$x = 0$

x = - 6

$x = - 6$

Этап 6

Объединим решения.

x = 0, - 6

$x = 0, - 6$

Этап 7

Найдем область определения

\frac{x + 6}{x}

$\frac{x + 6}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Зададим знаменатель в

\frac{x + 6}{x}

$\frac{x + 6}{x}$ равным

0

$0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

x = 0

$x = 0$

Этап 7.2

Область определения ― это все значения

x

$x$ , при которых выражение определено.

(- \infty, 0) \cup (0, \infty)

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

(- \infty, 0) \cup (0, \infty)

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

x < - 6

$x < - 6$

- 6 < x < 0

$- 6 < x < 0$

x > 0

$x > 0$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале

x < - 6

$x < - 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале

x < - 6

$x < - 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

x = - 8

$x = - 8$

Этап 9.1.2

Заменим

x

$x$ на

- 8

$- 8$ в исходном неравенстве.

\frac{2 (- 8) + 6}{- 8} < 1

$\frac{2 (- 8) + 6}{- 8} < 1$

Этап 9.1.3

Левая часть

1.25

$1.25$ не меньше правой части

1

$1$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 9.2

Проверим значение на интервале

- 6 < x < 0

$- 6 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале

- 6 < x < 0

$- 6 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

x = - 3

$x = - 3$

Этап 9.2.2

Заменим

x

$x$ на

- 3

$- 3$ в исходном неравенстве.

\frac{2 (- 3) + 6}{- 3} < 1

$\frac{2 (- 3) + 6}{- 3} < 1$

Этап 9.2.3

Левая часть

0

$0$ меньше правой части

1

$1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 9.3

Проверим значение на интервале

x > 0

$x > 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале

x > 0

$x > 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

x = 2

$x = 2$

Этап 9.3.2

Заменим

x

$x$ на

2

$2$ в исходном неравенстве.

\frac{2 (2) + 6}{2} < 1

$\frac{2 (2) + 6}{2} < 1$

Этап 9.3.3

Левая часть

5

$5$ не меньше правой части

1

$1$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

x < - 6

$x < - 6$ Ложь

- 6 < x < 0

$- 6 < x < 0$ Истина

x > 0

$x > 0$ Ложь

x < - 6

$x < - 6$ Ложь

- 6 < x < 0

$- 6 < x < 0$ Истина

x > 0

$x > 0$ Ложь

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

- 6 < x < 0

$- 6 < x < 0$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

- 6 < x < 0

$- 6 < x < 0$

Интервальное представление:

(- 6, 0)

$(- 6, 0)$

Этап 12

Введите СВОЮ задачу