Математический анализ Примеры

x^{2} + 8 x < 33

$x^{2} + 8 x < 33$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

x^{2} + 8 x = 33

$x^{2} + 8 x = 33$

Этап 2

Вычтем

33

$33$ из обеих частей уравнения.

x^{2} + 8 x - 33 = 0

$x^{2} + 8 x - 33 = 0$

Этап 3

Разложим

x^{2} + 8 x - 33

$x^{2} + 8 x - 33$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Рассмотрим форму

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно

c

$c$ , а сумма —

b

$b$ . В данном случае произведение чисел равно

- 33

$- 33$ , а сумма —

8

$8$ .

- 3, 11

$- 3, 11$

Этап 3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

(x - 3) (x + 11) = 0

$(x - 3) (x + 11) = 0$

(x - 3) (x + 11) = 0

$(x - 3) (x + 11) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен

0

$0$ , все выражение равно

0

$0$ .

x - 3 = 0

$x - 3 = 0$

x + 11 = 0

$x + 11 = 0$

Этап 5

Приравняем

x - 3

$x - 3$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем

x - 3

$x - 3$ к

0

$0$ .

x - 3 = 0

$x - 3 = 0$

Этап 5.2

Добавим

3

$3$ к обеим частям уравнения.

x = 3

$x = 3$

x = 3

$x = 3$

Этап 6

Приравняем

x + 11

$x + 11$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем

x + 11

$x + 11$ к

0

$0$ .

x + 11 = 0

$x + 11 = 0$

Этап 6.2

Вычтем

11

$11$ из обеих частей уравнения.

x = - 11

$x = - 11$

x = - 11

$x = - 11$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых

(x - 3) (x + 11) = 0

$(x - 3) (x + 11) = 0$ верно.

x = 3, - 11

$x = 3, - 11$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

x < - 11

$x < - 11$

- 11 < x < 3

$- 11 < x < 3$

x > 3

$x > 3$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале

x < - 11

$x < - 11$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале

x < - 11

$x < - 11$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

x = - 14

$x = - 14$

Этап 9.1.2

Заменим

x

$x$ на

- 14

$- 14$ в исходном неравенстве.

{(- 14)}^{2} + 8 (- 14) < 33

${(- 14)}^{2} + 8 (- 14) < 33$

Этап 9.1.3

Левая часть

84

$84$ не меньше правой части

33

$33$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 9.2

Проверим значение на интервале

- 11 < x < 3

$- 11 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале

- 11 < x < 3

$- 11 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

x = 0

$x = 0$

Этап 9.2.2

Заменим

x

$x$ на

0

$0$ в исходном неравенстве.

{(0)}^{2} + 8 (0) < 33

${(0)}^{2} + 8 (0) < 33$

Этап 9.2.3

Левая часть

0

$0$ меньше правой части

33

$33$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 9.3

Проверим значение на интервале

x > 3

$x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале

x > 3

$x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

x = 6

$x = 6$

Этап 9.3.2

Заменим

x

$x$ на

6

$6$ в исходном неравенстве.

{(6)}^{2} + 8 (6) < 33

${(6)}^{2} + 8 (6) < 33$

Этап 9.3.3

Левая часть

84

$84$ не меньше правой части

33

$33$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

x < - 11

$x < - 11$ Ложь

- 11 < x < 3

$- 11 < x < 3$ Истина

x > 3

$x > 3$ Ложь

x < - 11

$x < - 11$ Ложь

- 11 < x < 3

$- 11 < x < 3$ Истина

x > 3

$x > 3$ Ложь

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

- 11 < x < 3

$- 11 < x < 3$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

- 11 < x < 3

$- 11 < x < 3$

Интервальное представление:

(- 11, 3)

$(- 11, 3)$

Этап 12

Введите СВОЮ задачу