Математический анализ Примеры

$x^{2} + 10 x - 24 < 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} + 10 x - 24 = 0$

Этап 2

Разложим $x^{2} + 10 x - 24$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 24$ , а сумма — $10$ .

$- 2, 12$

Этап 2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 2) (x + 12) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 12 = 0$

Этап 4

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 5

Приравняем $x + 12$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x + 12$ к $0$ .

$x + 12 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$x = - 12$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (x + 12) = 0$ верно.

$x = 2, - 12$

Этап 7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 12$

$- 12 < x < 2$

$x > 2$

Этап 8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Проверим значение на интервале $x < - 12$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 12$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 14$

Этап 8.1.2

Заменим $x$ на $- 14$ в исходном неравенстве.

${(- 14)}^{2} + 10 (- 14) - 24 < 0$

Этап 8.1.3

Левая часть $32$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 8.2

Проверим значение на интервале $- 12 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Выберем значение на интервале $- 12 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 8.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{2} + 10 (0) - 24 < 0$

Этап 8.2.3

Левая часть $- 24$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 8.3

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 8.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

${(4)}^{2} + 10 (4) - 24 < 0$

Этап 8.3.3

Левая часть $32$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 12$ Ложь

$- 12 < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

$x < - 12$ Ложь

$- 12 < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

Этап 9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 12 < x < 2$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- 12 < x < 2$

Интервальное представление:

$(- 12, 2)$

Этап 11

Введите СВОЮ задачу