Математический анализ Примеры

- \frac{6 y}{(y + 4) (y - 2)}

$- \frac{6 y}{(y + 4) (y - 2)}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место

A

$A$ .

\frac{A}{y + 4}

$\frac{A}{y + 4}$

Этап 1.2

B

$B$ .

\frac{A}{y + 4} + \frac{B}{y - 2}

$\frac{A}{y + 4} + \frac{B}{y - 2}$

Этап 1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен

(y + 4) (y - 2)

$(y + 4) (y - 2)$ .

- \frac{6 y (y + 4) (y - 2)}{(y + 4) (y - 2)} = \frac{(A) (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}

$- \frac{6 y (y + 4) (y - 2)}{(y + 4) (y - 2)} = \frac{(A) (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель

y + 4

$y + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

- \frac{6 y (y + 4) (y - 2)}{(y + 4) (y - 2)} = \frac{(A) (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}

$- \frac{6 y (y + 4) (y - 2)}{(y + 4) (y - 2)} = \frac{(A) (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

- \frac{6 y (y - 2)}{y - 2} = \frac{(A) (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}

$- \frac{6 y (y - 2)}{y - 2} = \frac{(A) (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}$

- \frac{6 y (y - 2)}{y - 2} = \frac{(A) (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}

$- \frac{6 y (y - 2)}{y - 2} = \frac{(A) (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель

y - 2

$y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

- \frac{6 y (y - 2)}{y - 2} = \frac{(A) (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}

$- \frac{6 y (y - 2)}{y - 2} = \frac{(A) (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}$

Этап 1.5.2

Разделим

6 y

$6 y$ на

1

$1$ .

- (6 y) = \frac{(A) (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}

$- (6 y) = \frac{(A) (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}$

- (6 y) = \frac{(A) (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}

$- (6 y) = \frac{(A) (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}$

Этап 1.6

Умножим

6

$6$ на

- 1

$- 1$ .

- 6 y = \frac{(A) (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}

$- 6 y = \frac{(A) (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}$

Этап 1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Сократим общий множитель

y + 4

$y + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Сократим общий множитель.

- 6 y = \frac{A (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}

$- 6 y = \frac{A (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}$

Этап 1.7.1.2

Разделим

(A) (y - 2)

$(A) (y - 2)$ на

1

$1$ .

- 6 y = (A) (y - 2) + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}

$- 6 y = (A) (y - 2) + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}$

- 6 y = (A) (y - 2) + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}

$- 6 y = (A) (y - 2) + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}$

Этап 1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

- 6 y = A y + A \cdot - 2 + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}

$- 6 y = A y + A \cdot - 2 + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}$

Этап 1.7.3

Перенесем

- 2

$- 2$ влево от

A

$A$ .

- 6 y = A y - 2 \cdot A + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}

$- 6 y = A y - 2 \cdot A + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}$

Этап 1.7.4

Сократим общий множитель

y - 2

$y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Сократим общий множитель.

- 6 y = A y - 2 A + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}

$- 6 y = A y - 2 A + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}$

Этап 1.7.4.2

Разделим

(B) (y + 4)

$(B) (y + 4)$ на

1

$1$ .

- 6 y = A y - 2 A + (B) (y + 4)

$- 6 y = A y - 2 A + (B) (y + 4)$

- 6 y = A y - 2 A + (B) (y + 4)

$- 6 y = A y - 2 A + (B) (y + 4)$

Этап 1.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

- 6 y = A y - 2 A + B y + B \cdot 4

$- 6 y = A y - 2 A + B y + B \cdot 4$

Этап 1.7.6

Перенесем

4

$4$ влево от

B

$B$ .

- 6 y = A y - 2 A + B y + 4 B

$- 6 y = A y - 2 A + B y + 4 B$

- 6 y = A y - 2 A + B y + 4 B

$- 6 y = A y - 2 A + B y + 4 B$

Этап 1.8

Перенесем

- 2 A

$- 2 A$ .

- 6 y = A y + B y - 2 A + 4 B

$- 6 y = A y + B y - 2 A + 4 B$

- 6 y = A y + B y - 2 A + 4 B

$- 6 y = A y + B y - 2 A + 4 B$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты

y

$y$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

- 6 = A + B

$- 6 = A + B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих

y

$y$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

0 = - 2 A + 4 B

$0 = - 2 A + 4 B$

Этап 2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

- 6 = A + B

$- 6 = A + B$

0 = - 2 A + 4 B

$0 = - 2 A + 4 B$

- 6 = A + B

$- 6 = A + B$

0 = - 2 A + 4 B

$0 = - 2 A + 4 B$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно

A

$A$ в

- 6 = A + B

$- 6 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде

A + B = - 6

$A + B = - 6$ .

A + B = - 6

$A + B = - 6$

0 = - 2 A + 4 B

$0 = - 2 A + 4 B$

Этап 3.1.2

Вычтем

B

$B$ из обеих частей уравнения.

A = - 6 - B

$A = - 6 - B$

0 = - 2 A + 4 B

$0 = - 2 A + 4 B$

A = - 6 - B

$A = - 6 - B$

0 = - 2 A + 4 B

$0 = - 2 A + 4 B$

Этап 3.2

Заменим все вхождения

A

$A$ на

- 6 - B

$- 6 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения

A

$A$ в

0 = - 2 A + 4 B

$0 = - 2 A + 4 B$ на

- 6 - B

$- 6 - B$ .

0 = - 2 (- 6 - B) + 4 B

$0 = - 2 (- 6 - B) + 4 B$

A = - 6 - B

$A = - 6 - B$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим

- 2 (- 6 - B) + 4 B

$- 2 (- 6 - B) + 4 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

0 = - 2 \cdot - 6 - 2 (- B) + 4 B

$0 = - 2 \cdot - 6 - 2 (- B) + 4 B$

A = - 6 - B

$A = - 6 - B$

Этап 3.2.2.1.1.2

Умножим

- 2

$- 2$ на

- 6

$- 6$ .

0 = 12 - 2 (- B) + 4 B

$0 = 12 - 2 (- B) + 4 B$

A = - 6 - B

$A = - 6 - B$

Этап 3.2.2.1.1.3

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 2

$- 2$ .

0 = 12 + 2 B + 4 B

$0 = 12 + 2 B + 4 B$

A = - 6 - B

$A = - 6 - B$

0 = 12 + 2 B + 4 B

$0 = 12 + 2 B + 4 B$

A = - 6 - B

$A = - 6 - B$

Этап 3.2.2.1.2

Добавим

2 B

$2 B$ и

4 B

$4 B$ .

0 = 12 + 6 B

$0 = 12 + 6 B$

A = - 6 - B

$A = - 6 - B$

0 = 12 + 6 B

$0 = 12 + 6 B$

A = - 6 - B

$A = - 6 - B$

0 = 12 + 6 B

$0 = 12 + 6 B$

A = - 6 - B

$A = - 6 - B$

0 = 12 + 6 B

$0 = 12 + 6 B$

A = - 6 - B

$A = - 6 - B$

Этап 3.3

Решим относительно

B

$B$ в

0 = 12 + 6 B

$0 = 12 + 6 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде

12 + 6 B = 0

$12 + 6 B = 0$ .

12 + 6 B = 0

$12 + 6 B = 0$

A = - 6 - B

$A = - 6 - B$

Этап 3.3.2

Вычтем

12

$12$ из обеих частей уравнения.

6 B = - 12

$6 B = - 12$

A = - 6 - B

$A = - 6 - B$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член

6 B = - 12

$6 B = - 12$ на

6

$6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член

6 B = - 12

$6 B = - 12$ на

6

$6$ .

\frac{6 B}{6} = \frac{- 12}{6}

$\frac{6 B}{6} = \frac{- 12}{6}$

A = - 6 - B

$A = - 6 - B$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель

6

$6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

\frac{6 B}{6} = \frac{- 12}{6}

$\frac{6 B}{6} = \frac{- 12}{6}$

A = - 6 - B

$A = - 6 - B$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим

B

$B$ на

1

$1$ .

B = \frac{- 12}{6}

$B = \frac{- 12}{6}$

A = - 6 - B

$A = - 6 - B$

B = \frac{- 12}{6}

$B = \frac{- 12}{6}$

A = - 6 - B

$A = - 6 - B$

B = \frac{- 12}{6}

$B = \frac{- 12}{6}$

A = - 6 - B

$A = - 6 - B$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Разделим

- 12

$- 12$ на

6

$6$ .

B = - 2

$B = - 2$

A = - 6 - B

$A = - 6 - B$

B = - 2

$B = - 2$

A = - 6 - B

$A = - 6 - B$

B = - 2

$B = - 2$

A = - 6 - B

$A = - 6 - B$

B = - 2

$B = - 2$

A = - 6 - B

$A = - 6 - B$

Этап 3.4

Заменим все вхождения

B

$B$ на

- 2

$- 2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения

B

$B$ в

A = - 6 - B

$A = - 6 - B$ на

- 2

$- 2$ .

A = - 6 - (- 2)

$A = - 6 - (- 2)$

B = - 2

$B = - 2$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим

- 6 - (- 2)

$- 6 - (- 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 2

$- 2$ .

A = - 6 + 2

$A = - 6 + 2$

B = - 2

$B = - 2$

Этап 3.4.2.1.2

Добавим

- 6

$- 6$ и

2

$2$ .

A = - 4

$A = - 4$

B = - 2

$B = - 2$

A = - 4

$A = - 4$

B = - 2

$B = - 2$

A = - 4

$A = - 4$

B = - 2

$B = - 2$

A = - 4

$A = - 4$

B = - 2

$B = - 2$

Этап 3.5

Перечислим все решения.

A = - 4, B = - 2

$A = - 4, B = - 2$

A = - 4, B = - 2

$A = - 4, B = - 2$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в

\frac{A}{y + 4} + \frac{B}{y - 2}

$\frac{A}{y + 4} + \frac{B}{y - 2}$ значениями, найденными для

A

$A$ и

B

$B$ .

\frac{- 4}{y + 4} + \frac{- 2}{y - 2}

$\frac{- 4}{y + 4} + \frac{- 2}{y - 2}$

Введите СВОЮ задачу