Математический анализ Примеры

$\frac{y}{(y - 2) (y + 3)}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{y - 2}$

Этап 1.2

$\frac{A}{y - 2} + \frac{B}{y + 3}$

Этап 1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(y - 2) (y + 3)$ .

$\frac{y (y - 2) (y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (y - 2) (y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y (y + 3)}{y + 3} = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $y + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (y + 3)}{y + 3} = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Этап 1.5.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Этап 1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель $y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{A (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Этап 1.6.1.2

Разделим $(A) (y + 3)$ на $1$ .

$y = (A) (y + 3) + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Этап 1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = A y + A \cdot 3 + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Этап 1.6.3

Перенесем $3$ влево от $A$ .

$y = A y + 3 \cdot A + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Этап 1.6.4

Сократим общий множитель $y + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = A y + 3 A + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Этап 1.6.4.2

Разделим $(B) (y - 2)$ на $1$ .

$y = A y + 3 A + (B) (y - 2)$

Этап 1.6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$y = A y + 3 A + B y + B \cdot - 2$

Этап 1.6.6

Перенесем $- 2$ влево от $B$ .

$y = A y + 3 A + B y - 2 B$

Этап 1.7

Перенесем $3 A$ .

$y = A y + B y + 3 A - 2 B$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $y$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $y$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = 3 A - 2 B$

Этап 2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$1 = A + B$

$0 = 3 A - 2 B$

$1 = A + B$

$0 = 3 A - 2 B$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $1 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = 3 A - 2 B$

Этап 3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = 1 - B$

$0 = 3 A - 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = 3 A - 2 B$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $1 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = 3 A - 2 B$ на $1 - B$ .

$0 = 3 (1 - B) - 2 B$

$A = 1 - B$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $3 (1 - B) - 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 = 3 \cdot 1 + 3 (- B) - 2 B$

$A = 1 - B$

Этап 3.2.2.1.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$0 = 3 + 3 (- B) - 2 B$

$A = 1 - B$

Этап 3.2.2.1.1.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$0 = 3 - 3 B - 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = 3 - 3 B - 2 B$

$A = 1 - B$

Этап 3.2.2.1.2

Вычтем $2 B$ из $- 3 B$ .

$0 = 3 - 5 B$

$A = 1 - B$

$0 = 3 - 5 B$

$A = 1 - B$

$0 = 3 - 5 B$

$A = 1 - B$

$0 = 3 - 5 B$

$A = 1 - B$

Этап 3.3

Решим относительно $B$ в $0 = 3 - 5 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $3 - 5 B = 0$ .

$3 - 5 B = 0$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- 5 B = - 3$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $- 5 B = - 3$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $- 5 B = - 3$ на $- 5$ .

$\frac{- 5 B}{- 5} = \frac{- 3}{- 5}$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 B}{- 5} = \frac{- 3}{- 5}$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{- 3}{- 5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 3}{- 5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 3}{- 5}$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$B = \frac{3}{5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{3}{5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{3}{5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{3}{5}$

$A = 1 - B$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $B$ на $\frac{3}{5}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 1 - B$ на $\frac{3}{5}$ .

$A = 1 - (\frac{3}{5})$

$B = \frac{3}{5}$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $1 - (\frac{3}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$A = \frac{5}{5} - \frac{3}{5}$

$B = \frac{3}{5}$

Этап 3.4.2.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$A = \frac{5 - 3}{5}$

$B = \frac{3}{5}$

Этап 3.4.2.1.3

Вычтем $3$ из $5$ .

$A = \frac{2}{5}$

$B = \frac{3}{5}$

$A = \frac{2}{5}$

$B = \frac{3}{5}$

$A = \frac{2}{5}$

$B = \frac{3}{5}$

$A = \frac{2}{5}$

$B = \frac{3}{5}$

Этап 3.5

Перечислим все решения.

$A = \frac{2}{5}, B = \frac{3}{5}$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{y - 2} + \frac{B}{y + 3}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{\frac{2}{5}}{y - 2} + \frac{\frac{3}{5}}{y + 3}$

Введите СВОЮ задачу