Математический анализ Примеры

f (x) = \frac{1}{x^{2} - 4}

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 4}$

Этап 1

Найдем, где выражение

\frac{1}{x^{2} - 4}

$\frac{1}{x^{2} - 4}$ не определено.

x = - 2, x = 2

$x = - 2, x = 2$

Этап 2

Поскольку

\frac{1}{x^{2} - 4}

$\frac{1}{x^{2} - 4}$

\to

$\to$

\infty

$\infty$ как

x

$x$

\to

$\to$

- 2

$- 2$ слева, а

\frac{1}{x^{2} - 4}

$\frac{1}{x^{2} - 4}$

\to

$\to$

- \infty

$- \infty$ как

x

$x$

\to

$\to$

- 2

$- 2$ справа, то

x = - 2

$x = - 2$ — вертикальная асимптота.

x = - 2

$x = - 2$

Этап 3

Поскольку

\frac{1}{x^{2} - 4}

$\frac{1}{x^{2} - 4}$

\to

$\to$

- \infty

$- \infty$ как

x

$x$

\to

$\to$

2

$2$ слева, а

\frac{1}{x^{2} - 4}

$\frac{1}{x^{2} - 4}$

\to

$\to$

\infty

$\infty$ как

x

$x$

\to

$\to$

2

$2$ справа, то

x = 2

$x = 2$ — вертикальная асимптота.

x = 2

$x = 2$

Этап 4

Перечислим все вертикальные асимптоты:

x = - 2, 2

$x = - 2, 2$

Этап 5

Рассмотрим рациональную функцию

R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}

$R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где

n

$n$ — степень числителя, а

m

$m$ — степень знаменателя.

1. Если

n < m

$n < m$ , тогда ось x,

y = 0

$y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если

n = m

$n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия

y = \frac{a}{b}

$y = \frac{a}{b}$ .

3. Если

n > m

$n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 6

Найдем

n

$n$ и

m

$m$ .

n = 0

$n = 0$

m = 2

$m = 2$

Этап 7

Поскольку

n < m

$n < m$ , ось X,

y = 0

$y = 0$ , является горизонтальной асимптотой.

y = 0

$y = 0$

Этап 8

Наклонной асимптоты нет, поскольку степень числителя меньше или равна степени знаменателя.

Нет наклонных асимптот

Этап 9

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты:

x = - 2, 2

$x = - 2, 2$

Горизонтальные асимптоты:

y = 0

$y = 0$

Нет наклонных асимптот

Этап 10

Введите СВОЮ задачу