Примеры

Найти собственные векторы / собственное пространство
Этап 1
Найдем собственные значения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Запишем формулу для построения характеристического уравнения .
Этап 1.2
Единичная матрица размера представляет собой квадратную матрицу с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.
Этап 1.3
Подставим известное значение в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.1
Подставим вместо .
Этап 1.3.2
Подставим вместо .
Этап 1.4
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1.1
Умножим на каждый элемент матрицы.
Этап 1.4.1.2
Упростим каждый элемент матрицы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1.2.1
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.2
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1.2.2.1
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.2.2
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.3
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1.2.3.1
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.3.2
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.4
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1.2.4.1
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.4.2
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.5
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.6
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1.2.6.1
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.6.2
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.7
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1.2.7.1
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.7.2
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.8
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1.2.8.1
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.8.2
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.9
Умножим на .
Этап 1.4.2
Сложим соответствующие элементы.
Этап 1.4.3
Упростим каждый элемент.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.3.1
Добавим и .
Этап 1.4.3.2
Добавим и .
Этап 1.4.3.3
Добавим и .
Этап 1.4.3.4
Добавим и .
Этап 1.4.3.5
Добавим и .
Этап 1.4.3.6
Добавим и .
Этап 1.4.3.7
Вычтем из .
Этап 1.5
Найдем определитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.1
Выберем строку или столбец с наибольшим количеством элементов . Если элементов нет, выберем любую строку или столбец. Умножим каждый элемент в столбце на его алгебраическое дополнение и сложим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.1.1
Рассмотрим соответствующую схему знаков.
Этап 1.5.1.2
Алгебраическое дополнение — это минор с измененным знаком, если индексы совпадают с позицией на схеме знаков.
Этап 1.5.1.3
Минор для  — это определитель с удаленными строкой и столбцом .
Этап 1.5.1.4
Умножим элемент на его алгебраическое дополнение.
Этап 1.5.1.5
Минор для  — это определитель с удаленными строкой и столбцом .
Этап 1.5.1.6
Умножим элемент на его алгебраическое дополнение.
Этап 1.5.1.7
Минор для  — это определитель с удаленными строкой и столбцом .
Этап 1.5.1.8
Умножим элемент на его алгебраическое дополнение.
Этап 1.5.1.9
Сложим члены.
Этап 1.5.2
Умножим на .
Этап 1.5.3
Умножим на .
Этап 1.5.4
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.4.1
Определитель матрицы можно найти, используя формулу .
Этап 1.5.4.2
Упростим определитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.4.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.4.2.1.1
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.4.2.1.1.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.5.4.2.1.1.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.5.4.2.1.1.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.5.4.2.1.2
Упростим и объединим подобные члены.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.4.2.1.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.4.2.1.2.1.1
Умножим на .
Этап 1.5.4.2.1.2.1.2
Умножим на .
Этап 1.5.4.2.1.2.1.3
Умножим на .
Этап 1.5.4.2.1.2.1.4
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 1.5.4.2.1.2.1.5
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.4.2.1.2.1.5.1
Перенесем .
Этап 1.5.4.2.1.2.1.5.2
Умножим на .
Этап 1.5.4.2.1.2.1.6
Умножим на .
Этап 1.5.4.2.1.2.1.7
Умножим на .
Этап 1.5.4.2.1.2.2
Вычтем из .
Этап 1.5.4.2.1.3
Умножим на .
Этап 1.5.4.2.2
Вычтем из .
Этап 1.5.4.2.3
Изменим порядок и .
Этап 1.5.5
Упростим определитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.5.1
Объединим противоположные члены в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.5.1.1
Добавим и .
Этап 1.5.5.1.2
Вычтем из .
Этап 1.5.5.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.5.5.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.5.3.1
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.5.3.1.1
Перенесем .
Этап 1.5.5.3.1.2
Умножим на .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.5.3.1.2.1
Возведем в степень .
Этап 1.5.5.3.1.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 1.5.5.3.1.3
Добавим и .
Этап 1.5.5.3.2
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 1.5.5.3.3
Умножим на .
Этап 1.5.5.4
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.5.4.1
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.5.4.1.1
Перенесем .
Этап 1.5.5.4.1.2
Умножим на .
Этап 1.5.5.4.2
Умножим на .
Этап 1.6
Примем характеристический многочлен равным , чтобы найти собственные значения .
Этап 1.7
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.7.1
Разложим левую часть уравнения на множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.7.1.1
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.7.1.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.7.1.1.2
Вынесем множитель из .
Этап 1.7.1.1.3
Вынесем множитель из .
Этап 1.7.1.1.4
Вынесем множитель из .
Этап 1.7.1.1.5
Вынесем множитель из .
Этап 1.7.1.2
Разложим на множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.7.1.2.1
Разложим на множители, используя метод группировки.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.7.1.2.1.1
Рассмотрим форму . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно , а сумма — . В данном случае произведение чисел равно , а сумма — .
Этап 1.7.1.2.1.2
Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.
Этап 1.7.1.2.2
Избавимся от ненужных скобок.
Этап 1.7.2
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .
Этап 1.7.3
Приравняем к .
Этап 1.7.4
Приравняем к , затем решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.7.4.1
Приравняем к .
Этап 1.7.4.2
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 1.7.5
Приравняем к , затем решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.7.5.1
Приравняем к .
Этап 1.7.5.2
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 1.7.6
Окончательным решением являются все значения, при которых верно.
Этап 2
Собственный вектор равен нулевому пространству матрицы минус собственное значение, умноженное на единичную матрицу, где  — это нулевое пространство, а  — единичная матрица.
Этап 3
Найдем собственный вектор, используя собственное значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Подставим известные значения в формулу.
Этап 3.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.1.1
Умножим на каждый элемент матрицы.
Этап 3.2.1.2
Упростим каждый элемент матрицы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.1.2.1
Умножим на .
Этап 3.2.1.2.2
Умножим на .
Этап 3.2.1.2.3
Умножим на .
Этап 3.2.1.2.4
Умножим на .
Этап 3.2.1.2.5
Умножим на .
Этап 3.2.1.2.6
Умножим на .
Этап 3.2.1.2.7
Умножим на .
Этап 3.2.1.2.8
Умножим на .
Этап 3.2.1.2.9
Умножим на .
Этап 3.2.2
Добавление любой матрицы к нулевой матрице дает исходную матрицу.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.2.1
Сложим соответствующие элементы.
Этап 3.2.2.2
Упростим каждый элемент.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.2.2.1
Добавим и .
Этап 3.2.2.2.2
Добавим и .
Этап 3.2.2.2.3
Добавим и .
Этап 3.2.2.2.4
Добавим и .
Этап 3.2.2.2.5
Добавим и .
Этап 3.2.2.2.6
Добавим и .
Этап 3.2.2.2.7
Добавим и .
Этап 3.2.2.2.8
Добавим и .
Этап 3.2.2.2.9
Добавим и .
Этап 3.3
Найдем нуль-пространство, когда .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.1
Запишем в виде расширенной матрицы для .
Этап 3.3.2
Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.2.1
Умножим каждый элемент на , чтобы сделать значение в равным .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.2.1.1
Умножим каждый элемент на , чтобы сделать значение в равным .
Этап 3.3.2.1.2
Упростим .
Этап 3.3.2.2
Выполним операцию над строками , чтобы сделать элемент в равным .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.2.2.1
Выполним операцию над строками , чтобы сделать элемент в равным .
Этап 3.3.2.2.2
Упростим .
Этап 3.3.2.3
Выполним операцию над строками , чтобы сделать элемент в равным .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.2.3.1
Выполним операцию над строками , чтобы сделать элемент в равным .
Этап 3.3.2.3.2
Упростим .
Этап 3.3.2.4
Умножим каждый элемент на , чтобы сделать значение в равным .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.2.4.1
Умножим каждый элемент на , чтобы сделать значение в равным .
Этап 3.3.2.4.2
Упростим .
Этап 3.3.2.5
Выполним операцию над строками , чтобы сделать элемент в равным .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.2.5.1
Выполним операцию над строками , чтобы сделать элемент в равным .
Этап 3.3.2.5.2
Упростим .
Этап 3.3.2.6
Выполним операцию над строками , чтобы сделать элемент в равным .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.2.6.1
Выполним операцию над строками , чтобы сделать элемент в равным .
Этап 3.3.2.6.2
Упростим .
Этап 3.3.3
Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.
Этап 3.3.4
Запишем вектор решения, найдя решение через свободные переменные в каждой строке.
Этап 3.3.5
Запишем решение в виде линейной комбинации векторов.
Этап 3.3.6
Запишем в виде множества решений.
Этап 3.3.7
Решение ― это множество векторов, созданных из свободных переменных системы.
Этап 4
Найдем собственный вектор, используя собственное значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Подставим известные значения в формулу.
Этап 4.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.1.1
Умножим на каждый элемент матрицы.
Этап 4.2.1.2
Упростим каждый элемент матрицы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.1.2.1
Умножим на .
Этап 4.2.1.2.2
Умножим на .
Этап 4.2.1.2.3
Умножим на .
Этап 4.2.1.2.4
Умножим на .
Этап 4.2.1.2.5
Умножим на .
Этап 4.2.1.2.6
Умножим на .
Этап 4.2.1.2.7
Умножим на .
Этап 4.2.1.2.8
Умножим на .
Этап 4.2.1.2.9
Умножим на .
Этап 4.2.2
Сложим соответствующие элементы.
Этап 4.2.3
Упростим каждый элемент.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.3.1
Вычтем из .
Этап 4.2.3.2
Добавим и .
Этап 4.2.3.3
Добавим и .
Этап 4.2.3.4
Добавим и .
Этап 4.2.3.5
Вычтем из .
Этап 4.2.3.6
Добавим и .
Этап 4.2.3.7
Добавим и .
Этап 4.2.3.8
Добавим и .
Этап 4.2.3.9
Вычтем из .
Этап 4.3
Найдем нуль-пространство, когда .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.1
Запишем в виде расширенной матрицы для .
Этап 4.3.2
Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.2.1
Умножим каждый элемент на , чтобы сделать значение в равным .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.2.1.1
Умножим каждый элемент на , чтобы сделать значение в равным .
Этап 4.3.2.1.2
Упростим .
Этап 4.3.2.2
Выполним операцию над строками , чтобы сделать элемент в равным .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.2.2.1
Выполним операцию над строками , чтобы сделать элемент в равным .
Этап 4.3.2.2.2
Упростим .
Этап 4.3.2.3
Выполним операцию над строками , чтобы сделать элемент в равным .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.2.3.1
Выполним операцию над строками , чтобы сделать элемент в равным .
Этап 4.3.2.3.2
Упростим .
Этап 4.3.2.4
Заменим на , чтобы поместить ненулевой элемент в .
Этап 4.3.2.5
Умножим каждый элемент на , чтобы сделать значение в равным .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.2.5.1
Умножим каждый элемент на , чтобы сделать значение в равным .
Этап 4.3.2.5.2
Упростим .
Этап 4.3.2.6
Выполним операцию над строками , чтобы сделать элемент в равным .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.2.6.1
Выполним операцию над строками , чтобы сделать элемент в равным .
Этап 4.3.2.6.2
Упростим .
Этап 4.3.3
Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.
Этап 4.3.4
Запишем вектор решения, найдя решение через свободные переменные в каждой строке.
Этап 4.3.5
Запишем решение в виде линейной комбинации векторов.
Этап 4.3.6
Запишем в виде множества решений.
Этап 4.3.7
Решение ― это множество векторов, созданных из свободных переменных системы.
Этап 5
Найдем собственный вектор, используя собственное значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Подставим известные значения в формулу.
Этап 5.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.1.1
Умножим на каждый элемент матрицы.
Этап 5.2.1.2
Упростим каждый элемент матрицы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.1.2.1
Умножим на .
Этап 5.2.1.2.2
Умножим на .
Этап 5.2.1.2.3
Умножим на .
Этап 5.2.1.2.4
Умножим на .
Этап 5.2.1.2.5
Умножим на .
Этап 5.2.1.2.6
Умножим на .
Этап 5.2.1.2.7
Умножим на .
Этап 5.2.1.2.8
Умножим на .
Этап 5.2.1.2.9
Умножим на .
Этап 5.2.2
Сложим соответствующие элементы.
Этап 5.2.3
Упростим каждый элемент.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.3.1
Добавим и .
Этап 5.2.3.2
Добавим и .
Этап 5.2.3.3
Добавим и .
Этап 5.2.3.4
Добавим и .
Этап 5.2.3.5
Добавим и .
Этап 5.2.3.6
Добавим и .
Этап 5.2.3.7
Добавим и .
Этап 5.2.3.8
Добавим и .
Этап 5.2.3.9
Добавим и .
Этап 5.3
Найдем нуль-пространство, когда .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.1
Запишем в виде расширенной матрицы для .
Этап 5.3.2
Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.2.1
Умножим каждый элемент на , чтобы сделать значение в равным .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.2.1.1
Умножим каждый элемент на , чтобы сделать значение в равным .
Этап 5.3.2.1.2
Упростим .
Этап 5.3.2.2
Выполним операцию над строками , чтобы сделать элемент в равным .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.2.2.1
Выполним операцию над строками , чтобы сделать элемент в равным .
Этап 5.3.2.2.2
Упростим .
Этап 5.3.2.3
Выполним операцию над строками , чтобы сделать элемент в равным .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.2.3.1
Выполним операцию над строками , чтобы сделать элемент в равным .
Этап 5.3.2.3.2
Упростим .
Этап 5.3.2.4
Заменим на , чтобы поместить ненулевой элемент в .
Этап 5.3.2.5
Умножим каждый элемент на , чтобы сделать значение в равным .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.2.5.1
Умножим каждый элемент на , чтобы сделать значение в равным .
Этап 5.3.2.5.2
Упростим .
Этап 5.3.3
Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.
Этап 5.3.4
Запишем вектор решения, найдя решение через свободные переменные в каждой строке.
Этап 5.3.5
Запишем решение в виде линейной комбинации векторов.
Этап 5.3.6
Запишем в виде множества решений.
Этап 5.3.7
Решение ― это множество векторов, созданных из свободных переменных системы.
Этап 6
Собственное пространство является списком векторных пространств для каждого собственного значения.
Введите СВОЮ задачу
Для Mathway требуются JavaScript и современный браузер.