Алгебра Примеры

A = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 & 5 & 0 7 & 5 & 0 1 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$A = [\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 1

Дефект — это размерность нуль-пространства, которая совпадает с количеством свободных переменных в системе после приведения по строкам. Свободные переменные — это столбцы без разрешающих элементов.

Этап 2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый элемент

R_{1}

$R_{1}$ на

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ , чтобы сделать значение в

1, 1

$1, 1$ равным

1

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим каждый элемент

R_{1}

$R_{1}$ на

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ , чтобы сделать значение в

1, 1

$1, 1$ равным

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3}{3} & \frac{5}{3} & \frac{0}{3} 7 & 5 & 0 1 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{5}{3} & \frac{0}{3} \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 2.1.2

Упростим

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{5}{3} & 0 7 & 5 & 0 1 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{5}{3} & 0 7 & 5 & 0 1 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 2.2

Выполним операцию над строками

R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

2, 1

$2, 1$ равным

0

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Выполним операцию над строками

R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

2, 1

$2, 1$ равным

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{5}{3} & 0 7 - 7 \cdot 1 & 5 - 7 (\frac{5}{3}) & 0 - 7 \cdot 0 1 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 7 - 7 \cdot 1 & 5 - 7 (\frac{5}{3}) & 0 - 7 \cdot 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 2.2.2

Упростим

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{5}{3} & 0 0 & - \frac{20}{3} & 0 1 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{5}{3} & 0 0 & - \frac{20}{3} & 0 1 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 2.3

Выполним операцию над строками

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

3, 1

$3, 1$ равным

0

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Выполним операцию над строками

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

3, 1

$3, 1$ равным

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{5}{3} & 0 0 & - \frac{20}{3} & 0 1 - 1 & 1 - \frac{5}{3} & 0 - 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 \\ 1 - 1 & 1 - \frac{5}{3} & 0 - 0 \end{array}]$

Этап 2.3.2

Упростим

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{5}{3} & 0 0 & - \frac{20}{3} & 0 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{5}{3} & 0 0 & - \frac{20}{3} & 0 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{array}]$

Этап 2.4

Умножим каждый элемент

R_{2}

$R_{2}$ на

- \frac{3}{20}

$- \frac{3}{20}$ , чтобы сделать значение в

2, 2

$2, 2$ равным

1

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим каждый элемент

R_{2}

$R_{2}$ на

- \frac{3}{20}

$- \frac{3}{20}$ , чтобы сделать значение в

2, 2

$2, 2$ равным

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{5}{3} & 0 - \frac{3}{20} \cdot 0 & - \frac{3}{20} (- \frac{20}{3}) & - \frac{3}{20} \cdot 0 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ - \frac{3}{20} \cdot 0 & - \frac{3}{20} (- \frac{20}{3}) & - \frac{3}{20} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{array}]$

Этап 2.4.2

Упростим

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{5}{3} & 0 0 & 1 & 0 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{5}{3} & 0 0 & 1 & 0 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{array}]$

Этап 2.5

Выполним операцию над строками

R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}

$R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

3, 2

$3, 2$ равным

0

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Выполним операцию над строками

R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}

$R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

3, 2

$3, 2$ равным

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{5}{3} & 0 0 & 1 & 0 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 \end{array}]$

Этап 2.5.2

Упростим

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{5}{3} & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{5}{3} & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 2.6

Выполним операцию над строками

R_{1} = R_{1} - \frac{5}{3} R_{2}

$R_{1} = R_{1} - \frac{5}{3} R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

1, 2

$1, 2$ равным

0

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Выполним операцию над строками

R_{1} = R_{1} - \frac{5}{3} R_{2}

$R_{1} = R_{1} - \frac{5}{3} R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

1, 2

$1, 2$ равным

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - \frac{5}{3} \cdot 0 & \frac{5}{3} - \frac{5}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{5}{3} \cdot 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{5}{3} \cdot 0 & \frac{5}{3} - \frac{5}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{5}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 2.6.2

Упростим

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3

Позиции разрешающего элемента — это позиции, начинающиеся с

1

$1$ в каждой строке. Разрешающие столбцы — это столбцы, содержащие позицию разрешающего элемента.

Разрешающие элементы:

a_{11}

$a_{11}$ и

a_{22}

$a_{22}$

Разрешающие столбцы:

1

$1$ и

2

$2$

Этап 4

Размерность нуль-пространства — это количество столбцов без позиции разрешающего элемента в сокращенной по строкам матрице.

1

$1$

Введите СВОЮ задачу