Алгебра Примеры

[\begin{matrix} 2 & 4 - 2 & - 4 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 4 & - 1 3 & 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 2 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Этап 1

Сложим соответствующие элементы.

[\begin{matrix} 2 + 4 & 4 - 1 - 2 + 3 & - 4 + 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 2 + 4 & 4 - 1 \\ - 2 + 3 & - 4 + 2 \end{array}]$

Этап 2

Упростим каждый элемент.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим

2

$2$ и

4

$4$ .

[\begin{matrix} 6 & 4 - 1 - 2 + 3 & - 4 + 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 6 & 4 - 1 \\ - 2 + 3 & - 4 + 2 \end{array}]$

Этап 2.2

Вычтем

1

$1$ из

4

$4$ .

[\begin{matrix} 6 & 3 - 2 + 3 & - 4 + 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 6 & 3 \\ - 2 + 3 & - 4 + 2 \end{array}]$

Этап 2.3

Добавим

- 2

$- 2$ и

3

$3$ .

[\begin{matrix} 6 & 3 1 & - 4 + 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 6 & 3 \\ 1 & - 4 + 2 \end{array}]$

Этап 2.4

Добавим

- 4

$- 4$ и

2

$2$ .

[\begin{matrix} 6 & 3 1 & - 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 6 & 3 \\ 1 & - 2 \end{array}]$

[\begin{matrix} 6 & 3 1 & - 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 6 & 3 \\ 1 & - 2 \end{array}]$

Этап 3

Обратную матрицу

2 \times 2

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ , где

a d - b c

$a d - b c$ является определителем.

Этап 4

Найдем определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Определитель матрицы

2 \times 2

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

6 \cdot - 2 - 1 \cdot 3

$6 \cdot - 2 - 1 \cdot 3$

Этап 4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим

6

$6$ на

- 2

$- 2$ .

- 12 - 1 \cdot 3

$- 12 - 1 \cdot 3$

Этап 4.2.1.2

Умножим

- 1

$- 1$ на

3

$3$ .

- 12 - 3

$- 12 - 3$

- 12 - 3

$- 12 - 3$

Этап 4.2.2

Вычтем

3

$3$ из

- 12

$- 12$ .

- 15

$- 15$

- 15

$- 15$

- 15

$- 15$

Этап 5

Так как определитель отличен от нуля, существует обратная матрица.

Этап 6

Подставим известные значения в формулу для обратной матрицы.

\frac{1}{- 15} [\begin{matrix} - 2 & - 3 - 1 & 6 \end{matrix}]

$\frac{1}{- 15} [\begin{array}{c} - 2 & - 3 \\ - 1 & 6 \end{array}]$

Этап 7

Вынесем знак минуса перед дробью.

- \frac{1}{15} [\begin{matrix} - 2 & - 3 - 1 & 6 \end{matrix}]

$- \frac{1}{15} [\begin{array}{c} - 2 & - 3 \\ - 1 & 6 \end{array}]$

Этап 8

Умножим

- \frac{1}{15}

$- \frac{1}{15}$ на каждый элемент матрицы.

[\begin{matrix} - \frac{1}{15} \cdot - 2 & - \frac{1}{15} \cdot - 3 - \frac{1}{15} \cdot - 1 & - \frac{1}{15} \cdot 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{15} \cdot - 2 & - \frac{1}{15} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{15} \cdot - 1 & - \frac{1}{15} \cdot 6 \end{array}]$

Этап 9

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим

- \frac{1}{15} \cdot - 2

$- \frac{1}{15} \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим

- 2

$- 2$ на

- 1

$- 1$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 (\frac{1}{15}) & - \frac{1}{15} \cdot - 3 - \frac{1}{15} \cdot - 1 & - \frac{1}{15} \cdot 6 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 (\frac{1}{15}) & - \frac{1}{15} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{15} \cdot - 1 & - \frac{1}{15} \cdot 6 \end{array}]$

Этап 9.1.2

Объединим

2

$2$ и

\frac{1}{15}

$\frac{1}{15}$ .

[\begin{matrix} \frac{2}{15} & - \frac{1}{15} \cdot - 3 - \frac{1}{15} \cdot - 1 & - \frac{1}{15} \cdot 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{2}{15} & - \frac{1}{15} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{15} \cdot - 1 & - \frac{1}{15} \cdot 6 \end{array}]$

[\begin{matrix} \frac{2}{15} & - \frac{1}{15} \cdot - 3 - \frac{1}{15} \cdot - 1 & - \frac{1}{15} \cdot 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{2}{15} & - \frac{1}{15} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{15} \cdot - 1 & - \frac{1}{15} \cdot 6 \end{array}]$

Этап 9.2

Сократим общий множитель

3

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в

- \frac{1}{15}

$- \frac{1}{15}$ в числитель.

[\begin{matrix} \frac{2}{15} & \frac{- 1}{15} \cdot - 3 - \frac{1}{15} \cdot - 1 & - \frac{1}{15} \cdot 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{2}{15} & \frac{- 1}{15} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{15} \cdot - 1 & - \frac{1}{15} \cdot 6 \end{array}]$

Этап 9.2.2

Вынесем множитель

3

$3$ из

15

$15$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} \frac{2}{15} & \frac{- 1}{3 (5)} \cdot - 3 - \frac{1}{15} \cdot - 1 & - \frac{1}{15} \cdot 6 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{2}{15} & \frac{- 1}{3 (5)} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{15} \cdot - 1 & - \frac{1}{15} \cdot 6 \end{array}]$

Этап 9.2.3

Вынесем множитель

3

$3$ из

- 3

$- 3$ .

[\begin{matrix} \frac{2}{15} & \frac{- 1}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot - 1) - \frac{1}{15} \cdot - 1 & - \frac{1}{15} \cdot 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{2}{15} & \frac{- 1}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{15} \cdot - 1 & - \frac{1}{15} \cdot 6 \end{array}]$

Этап 9.2.4

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{15} & \frac{- 1}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{15} \cdot - 1 & - \frac{1}{15} \cdot 6 \end{array}]$

Этап 9.2.5

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{15} & \frac{- 1}{5} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{15} \cdot - 1 & - \frac{1}{15} \cdot 6 \end{array}]$

Этап 9.3

Объединим

$\frac{- 1}{5}$ и

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{15} & \frac{- - 1}{5} \\ - \frac{1}{15} \cdot - 1 & - \frac{1}{15} \cdot 6 \end{array}]$

Этап 9.4

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{15} & \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{15} \cdot - 1 & - \frac{1}{15} \cdot 6 \end{array}]$

Этап 9.5

Умножим

$- \frac{1}{15} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{15} & \frac{1}{5} \\ 1 (\frac{1}{15}) & - \frac{1}{15} \cdot 6 \end{array}]$

Этап 9.5.2

Умножим

$\frac{1}{15}$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{15} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{15} & - \frac{1}{15} \cdot 6 \end{array}]$

Этап 9.6

Сократим общий множитель

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в

$- \frac{1}{15}$ в числитель.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{15} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{15} & \frac{- 1}{15} \cdot 6 \end{array}]$

Этап 9.6.2

Вынесем множитель

$3$ из

$15$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{15} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{15} & \frac{- 1}{3 (5)} \cdot 6 \end{array}]$

Этап 9.6.3

Вынесем множитель

$3$ из

$6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{15} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{15} & \frac{- 1}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot 2) \end{array}]$

Этап 9.6.4

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{15} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{15} & \frac{- 1}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot 2) \end{array}]$

Этап 9.6.5

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{15} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{15} & \frac{- 1}{5} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 9.7

Объединим

$\frac{- 1}{5}$ и

$2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{15} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{15} & \frac{- 1 \cdot 2}{5} \end{array}]$

Этап 9.8

Умножим

$- 1$ на

$2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{15} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{15} & \frac{- 2}{5} \end{array}]$

Этап 9.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{15} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{15} & - \frac{2}{5} \end{array}]$

Введите СВОЮ задачу