Алгебра Примеры

y = x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30

$y = x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$

Этап 1

Приравняем

x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ к

0

$0$ .

x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30 = 0

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30 = 0$

Этап 2

Решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Разложим

x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ , где

p

$p$ — делитель константы, а

q

$q$ — делитель старшего коэффициента.

p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

Этап 2.1.1.2

Найдем все комбинации

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

\pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6

$\pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

Этап 2.1.1.3

Подставим

2

$2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно

0

$0$ , поэтому

2

$2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Подставим

2

$2$ в многочлен.

2^{3} - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30

$2^{3} - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30$

Этап 2.1.1.3.2

Возведем

2

$2$ в степень

3

$3$ .

8 - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30

$8 - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30$

Этап 2.1.1.3.3

Возведем

2

$2$ в степень

2

$2$ .

8 - 4 \cdot 4 - 11 \cdot 2 + 30

$8 - 4 \cdot 4 - 11 \cdot 2 + 30$

Этап 2.1.1.3.4

Умножим

- 4

$- 4$ на

4

$4$ .

8 - 16 - 11 \cdot 2 + 30

$8 - 16 - 11 \cdot 2 + 30$

Этап 2.1.1.3.5

Вычтем

16

$16$ из

8

$8$ .

- 8 - 11 \cdot 2 + 30

$- 8 - 11 \cdot 2 + 30$

Этап 2.1.1.3.6

Умножим

- 11

$- 11$ на

2

$2$ .

- 8 - 22 + 30

$- 8 - 22 + 30$

Этап 2.1.1.3.7

Вычтем

22

$22$ из

- 8

$- 8$ .

- 30 + 30

$- 30 + 30$

Этап 2.1.1.3.8

Добавим

- 30

$- 30$ и

30

$30$ .

0

$0$

0

$0$

Этап 2.1.1.4

Поскольку

2

$2$ — известный корень, разделим многочлен на

x - 2

$x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30}{x - 2}

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30}{x - 2}$

Этап 2.1.1.5

Разделим

x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ на

x - 2

$x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением

0

$0$ .

x

$x$

2

$2$

x^{3}

$x^{3}$

4 x^{2}

$4 x^{2}$

11 x

$11 x$

30

$30$

Этап 2.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом

x^{3}

$x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе

x

$x$ .

					$x^{2}$ $x^{2}$
	$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$

Этап 2.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			+	$x^{3}$ $x^{3}$	-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в

x^{3} - 2 x^{2}

$x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$

Этап 2.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом

- 2 x^{2}

$- 2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе

x

$x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$

Этап 2.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	+	$4 x$ $4 x$

Этап 2.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в

- 2 x^{2} + 4 x

$- 2 x^{2} + 4 x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$

Этап 2.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$15 x$ $15 x$

Этап 2.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$15 x$ $15 x$	+	$30$ $30$

Этап 2.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом

- 15 x

$- 15 x$ на член с максимальной степенью в делителе

x

$x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$	-	$15$ $15$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$15 x$ $15 x$	+	$30$ $30$

Этап 2.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$	-	$15$ $15$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$15 x$ $15 x$	+	$30$ $30$
							-	$15 x$ $15 x$	+	$30$ $30$

Этап 2.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в

- 15 x + 30

$- 15 x + 30$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$	-	$15$ $15$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$15 x$ $15 x$	+	$30$ $30$
							+	$15 x$ $15 x$	-	$30$ $30$

Этап 2.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$	-	$15$ $15$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$15 x$ $15 x$	+	$30$ $30$
							+	$15 x$ $15 x$	-	$30$ $30$
										$0$ $0$

Этап 2.1.1.5.16

Поскольку остаток равен

0

$0$ , окончательным ответом является частное.

x^{2} - 2 x - 15

$x^{2} - 2 x - 15$

x^{2} - 2 x - 15

$x^{2} - 2 x - 15$

Этап 2.1.1.6

Запишем

x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ в виде набора множителей.

(x - 2) (x^{2} - 2 x - 15) = 0

$(x - 2) (x^{2} - 2 x - 15) = 0$

(x - 2) (x^{2} - 2 x - 15) = 0

$(x - 2) (x^{2} - 2 x - 15) = 0$

Этап 2.1.2

Разложим

x^{2} - 2 x - 15

$x^{2} - 2 x - 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разложим

x^{2} - 2 x - 15

$x^{2} - 2 x - 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Рассмотрим форму

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно

c

$c$ , а сумма —

b

$b$ . В данном случае произведение чисел равно

- 15

$- 15$ , а сумма —

- 2

$- 2$ .

- 5, 3

$- 5, 3$

Этап 2.1.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

(x - 2) ((x - 5) (x + 3)) = 0

$(x - 2) ((x - 5) (x + 3)) = 0$

(x - 2) ((x - 5) (x + 3)) = 0

$(x - 2) ((x - 5) (x + 3)) = 0$

Этап 2.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0

$(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0$

(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0

$(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0$

(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0

$(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен

0

$0$ , все выражение равно

0

$0$ .

x - 2 = 0

$x - 2 = 0$

x - 5 = 0

$x - 5 = 0$

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

Этап 2.3

Приравняем

x - 2

$x - 2$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем

x - 2

$x - 2$ к

0

$0$ .

x - 2 = 0

$x - 2 = 0$

Этап 2.3.2

Добавим

2

$2$ к обеим частям уравнения.

x = 2

$x = 2$

x = 2

$x = 2$

Этап 2.4

Приравняем

x - 5

$x - 5$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем

x - 5

$x - 5$ к

0

$0$ .

x - 5 = 0

$x - 5 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим

5

$5$ к обеим частям уравнения.

x = 5

$x = 5$

x = 5

$x = 5$

Этап 2.5

Приравняем

x + 3

$x + 3$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем

x + 3

$x + 3$ к

0

$0$ .

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем

3

$3$ из обеих частей уравнения.

x = - 3

$x = - 3$

x = - 3

$x = - 3$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых

(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0

$(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0$ верно. Кратность корня ― это количество появлений этого корня.

x = 2

$x = 2$ (кратно

1

$1$ )

x = 5

$x = 5$ (кратно

1

$1$ )

x = - 3

$x = - 3$ (кратно

1

$1$ )

x = 2

$x = 2$ (кратно

1

$1$ )

x = 5

$x = 5$ (кратно

1

$1$ )

x = - 3

$x = - 3$ (кратно

1

$1$ )

Этап 3

Введите СВОЮ задачу