Алгебра Примеры

A = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 & 5 & 0 7 & 5 & 0 1 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$A = [\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 1

Найдем собственные значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения

p (λ)

$p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$

Этап 1.2

Единичная матрица размера

$3$ представляет собой квадратную матрицу

$3 \times 3$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.3

Подставим известное значение в

$p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$ вместо

$A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] - λ I_{3})$

Этап 1.3.2

Подставим

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо

$I_{3}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Умножим

$- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.3.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.4

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.4.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.4.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.5

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.6

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.6.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.6.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.7

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.7.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.7.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.8

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.8.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.8.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.9

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Этап 1.4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3

Упростим каждый элемент.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Добавим

$5$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.2

Добавим

$0$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 \\ 7 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.3

Добавим

$7$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 \\ 7 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.4

Добавим

$0$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 \\ 7 & 5 - λ & 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.5

Добавим

$1$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 \\ 7 & 5 - λ & 0 \\ 1 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.6

Добавим

$1$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 \\ 7 & 5 - λ & 0 \\ 1 & 1 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.7

Вычтем

$λ$ из

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 \\ 7 & 5 - λ & 0 \\ 1 & 1 & - λ \end{array}]$

Этап 1.5

Найдем определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Выберем строку или столбец с наибольшим количеством элементов

$0$ . Если элементов

$0$ нет, выберем любую строку или столбец. Умножим каждый элемент в столбце

$3$ на его алгебраическое дополнение и сложим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Рассмотрим соответствующую схему знаков.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.5.1.2

Алгебраическое дополнение — это минор с измененным знаком, если индексы совпадают с позицией

$-$ на схеме знаков.

Этап 1.5.1.3

Минор для

$a_{13}$ — это определитель с удаленными строкой

$1$ и столбцом

$3$ .

$| \begin{array}{c} 7 & 5 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Этап 1.5.1.4

Умножим элемент

$a_{13}$ на его алгебраическое дополнение.

$0 | \begin{array}{c} 7 & 5 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Этап 1.5.1.5

Минор для

$a_{23}$ — это определитель с удаленными строкой

$2$ и столбцом

$3$ .

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Этап 1.5.1.6

Умножим элемент

$a_{23}$ на его алгебраическое дополнение.

$0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Этап 1.5.1.7

Минор для

$a_{33}$ — это определитель с удаленными строкой

$3$ и столбцом

$3$ .

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 7 & 5 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.8

Умножим элемент

$a_{33}$ на его алгебраическое дополнение.

$- λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 7 & 5 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.9

Сложим члены.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 7 & 5 - λ \\ 1 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 1 & 1 \end{array} | - λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 7 & 5 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.2

Умножим

$0$ на

$| \begin{array}{c} 7 & 5 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 1 & 1 \end{array} | - λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 7 & 5 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.3

Умножим

$0$ на

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 7 & 5 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.4

Найдем значение

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 7 & 5 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ ((3 - λ) (5 - λ) - 7 \cdot 5)$

Этап 1.5.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Развернем

$(3 - λ) (5 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (3 (5 - λ) - λ (5 - λ) - 7 \cdot 5)$

Этап 1.5.4.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (3 \cdot 5 + 3 (- λ) - λ (5 - λ) - 7 \cdot 5)$

Этап 1.5.4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (3 \cdot 5 + 3 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 7 \cdot 5)$

Этап 1.5.4.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.2.1.1

Умножим

$3$ на

$5$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 + 3 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 7 \cdot 5)$

Этап 1.5.4.2.1.2.1.2

Умножим

$- 1$ на

$3$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 7 \cdot 5)$

Этап 1.5.4.2.1.2.1.3

Умножим

$5$ на

$- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - 5 λ - λ (- λ) - 7 \cdot 5)$

Этап 1.5.4.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 7 \cdot 5)$

Этап 1.5.4.2.1.2.1.5

Умножим

$λ$ на

$λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.2.1.5.1

Перенесем

$λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 7 \cdot 5)$

Этап 1.5.4.2.1.2.1.5.2

Умножим

$λ$ на

$λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 7 \cdot 5)$

Этап 1.5.4.2.1.2.1.6

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - 5 λ + 1 λ^{2} - 7 \cdot 5)$

Этап 1.5.4.2.1.2.1.7

Умножим

$λ^{2}$ на

$1$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - 5 λ + λ^{2} - 7 \cdot 5)$

Этап 1.5.4.2.1.2.2

Вычтем

$5 λ$ из

$- 3 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 8 λ + λ^{2} - 7 \cdot 5)$

Этап 1.5.4.2.1.3

Умножим

$- 7$ на

$5$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 8 λ + λ^{2} - 35)$

Этап 1.5.4.2.2

Вычтем

$35$ из

$15$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (- 8 λ + λ^{2} - 20)$

Этап 1.5.4.2.3

Изменим порядок

$- 8 λ$ и

$λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (λ^{2} - 8 λ - 20)$

Этап 1.5.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Объединим противоположные члены в

$0 + 0 - λ (λ^{2} - 8 λ - 20)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1.1

Добавим

$0$ и

$0$ .

$p (λ) = 0 - λ (λ^{2} - 8 λ - 20)$

Этап 1.5.5.1.2

Вычтем

$λ (λ^{2} - 8 λ - 20)$ из

$0$ .

$p (λ) = - λ (λ^{2} - 8 λ - 20)$

Этап 1.5.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 20$

Этап 1.5.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1

Умножим

$λ$ на

$λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.1

Перенесем

$λ^{2}$ .

$p (λ) = - (λ^{2} λ) - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 20$

Этап 1.5.5.3.1.2

Умножим

$λ^{2}$ на

$λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.2.1

Возведем

$λ$ в степень

$1$ .

$p (λ) = - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 20$

Этап 1.5.5.3.1.2.2

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = - λ^{2 + 1} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 20$

Этап 1.5.5.3.1.3

Добавим

$2$ и

$1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 20$

Этап 1.5.5.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ - λ \cdot - 20$

Этап 1.5.5.3.3

Умножим

$- 20$ на

$- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ + 20 λ$

Этап 1.5.5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.4.1

Умножим

$λ$ на

$λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.4.1.1

Перенесем

$λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 1 \cdot - 8 (λ \cdot λ) + 20 λ$

Этап 1.5.5.4.1.2

Умножим

$λ$ на

$λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ^{2} + 20 λ$

Этап 1.5.5.4.2

Умножим

$- 1$ на

$- 8$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 8 λ^{2} + 20 λ$

Этап 1.6

Примем характеристический многочлен равным

$0$ , чтобы найти собственные значения

$λ$ .

$- λ^{3} + 8 λ^{2} + 20 λ = 0$

Этап 1.7

Решим относительно

$λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Вынесем множитель

$- λ$ из

$- λ^{3} + 8 λ^{2} + 20 λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1.1

Вынесем множитель

$- λ$ из

$- λ^{3}$ .

$- λ \cdot λ^{2} + 8 λ^{2} + 20 λ = 0$

Этап 1.7.1.1.2

Вынесем множитель

$- λ$ из

$8 λ^{2}$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) + 20 λ = 0$

Этап 1.7.1.1.3

Вынесем множитель

$- λ$ из

$20 λ$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 20 = 0$

Этап 1.7.1.1.4

Вынесем множитель

$- λ$ из

$- λ (λ^{2}) - λ (- 8 λ)$ .

$- λ (λ^{2} - 8 λ) - λ \cdot - 20 = 0$

Этап 1.7.1.1.5

Вынесем множитель

$- λ$ из

$- λ (λ^{2} - 8 λ) - λ (- 20)$ .

$- λ (λ^{2} - 8 λ - 20) = 0$

Этап 1.7.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.2.1

Разложим

$λ^{2} - 8 λ - 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.2.1.1

Рассмотрим форму

$x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно

$c$ , а сумма —

$b$ . В данном случае произведение чисел равно

$- 20$ , а сумма —

$- 8$ .

$- 10, 2$

Этап 1.7.1.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- λ ((λ - 10) (λ + 2)) = 0$

Этап 1.7.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- λ (λ - 10) (λ + 2) = 0$

Этап 1.7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен

$0$ , все выражение равно

$0$ .

$λ = 0$

$λ - 10 = 0$

$λ + 2 = 0$

Этап 1.7.3

Приравняем

$λ$ к

$0$ .

$λ = 0$

Этап 1.7.4

Приравняем

$λ - 10$ к

$0$ , затем решим относительно

$λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Приравняем

$λ - 10$ к

$0$ .

$λ - 10 = 0$

Этап 1.7.4.2

Добавим

$10$ к обеим частям уравнения.

$λ = 10$

Этап 1.7.5

Приравняем

$λ + 2$ к

$0$ , затем решим относительно

$λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Приравняем

$λ + 2$ к

$0$ .

$λ + 2 = 0$

Этап 1.7.5.2

Вычтем

$2$ из обеих частей уравнения.

$λ = - 2$

Этап 1.7.6

Окончательным решением являются все значения, при которых

$- λ (λ - 10) (λ + 2) = 0$ верно.

$λ = 0, 10, - 2$

Этап 2

Собственный вектор равен нулевому пространству матрицы минус собственное значение, умноженное на единичную матрицу, где

$N$ — это нулевое пространство, а

$I$ — единичная матрица.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Этап 3

Найдем собственный вектор, используя собственное значение

$λ = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим

$0$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Умножим

$0$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.2

Умножим

$0$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.3

Умножим

$0$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.4

Умножим

$0$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.5

Умножим

$0$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.6

Умножим

$0$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.7

Умножим

$0$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.8

Умножим

$0$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.9

Умножим

$0$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2

Добавление любой матрицы к нулевой матрице дает исходную матрицу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 3 + 0 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2

Упростим каждый элемент.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Добавим

$3$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.2

Добавим

$5$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.3

Добавим

$0$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 + 0 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.4

Добавим

$7$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.5

Добавим

$5$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.6

Добавим

$0$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.7

Добавим

$1$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.8

Добавим

$1$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.9

Добавим

$0$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3

Найдем нуль-пространство, когда

$λ = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Запишем в виде расширенной матрицы для

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 & 0 \\ 7 & 5 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим каждый элемент

$R_{1}$ на

$\frac{1}{3}$ , чтобы сделать значение в

$1, 1$ равным

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Умножим каждый элемент

$R_{1}$ на

$\frac{1}{3}$ , чтобы сделать значение в

$1, 1$ равным

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{5}{3} & \frac{0}{3} & \frac{0}{3} \\ 7 & 5 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 7 & 5 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.2

Выполним операцию над строками

$R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$2, 1$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Выполним операцию над строками

$R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$2, 1$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 7 - 7 \cdot 1 & 5 - 7 (\frac{5}{3}) & 0 - 7 \cdot 0 & 0 - 7 \cdot 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.2.2

Упростим

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.3

Выполним операцию над строками

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$3, 1$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Выполним операцию над строками

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$3, 1$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - \frac{5}{3} & 0 - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.3.2

Упростим

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.4

Умножим каждый элемент

$R_{2}$ на

$- \frac{3}{20}$ , чтобы сделать значение в

$2, 2$ равным

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.4.1

Умножим каждый элемент

$R_{2}$ на

$- \frac{3}{20}$ , чтобы сделать значение в

$2, 2$ равным

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ - \frac{3}{20} \cdot 0 & - \frac{3}{20} (- \frac{20}{3}) & - \frac{3}{20} \cdot 0 & - \frac{3}{20} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.4.2

Упростим

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.5

Выполним операцию над строками

$R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

$3, 2$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.5.1

Выполним операцию над строками

$R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

$3, 2$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 & 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.5.2

Упростим

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.6

Выполним операцию над строками

$R_{1} = R_{1} - \frac{5}{3} R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

$1, 2$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.6.1

Выполним операцию над строками

$R_{1} = R_{1} - \frac{5}{3} R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

$1, 2$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{5}{3} \cdot 0 & \frac{5}{3} - \frac{5}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{5}{3} \cdot 0 & 0 - \frac{5}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.6.2

Упростим

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

Этап 3.3.4

Запишем вектор решения, найдя решение через свободные переменные в каждой строке.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ z \end{array}]$

Этап 3.3.5

Запишем решение в виде линейной комбинации векторов.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Этап 3.3.6

Запишем в виде множества решений.

${z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Этап 3.3.7

Решение ― это множество векторов, созданных из свободных переменных системы.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Этап 4

Найдем собственный вектор, используя собственное значение

$λ = 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] - 10 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим

$- 10$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Умножим

$- 10$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим

$- 10$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.3

Умножим

$- 10$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.4

Умножим

$- 10$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.5

Умножим

$- 10$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.6

Умножим

$- 10$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.7

Умножим

$- 10$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.8

Умножим

$- 10$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.9

Умножим

$- 10$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & - 10 \end{array}]$

Этап 4.2.2

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 3 - 10 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 - 10 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

Этап 4.2.3

Упростим каждый элемент.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вычтем

$10$ из

$3$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 - 10 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

Этап 4.2.3.2

Добавим

$5$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 - 10 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

Этап 4.2.3.3

Добавим

$0$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 + 0 & 5 - 10 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

Этап 4.2.3.4

Добавим

$7$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 & 5 - 10 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

Этап 4.2.3.5

Вычтем

$10$ из

$5$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

Этап 4.2.3.6

Добавим

$0$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

Этап 4.2.3.7

Добавим

$1$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 \\ 1 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

Этап 4.2.3.8

Добавим

$1$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 - 10 \end{array}]$

Этап 4.2.3.9

Вычтем

$10$ из

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 \\ 1 & 1 & - 10 \end{array}]$

Этап 4.3

Найдем нуль-пространство, когда

$λ = 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Запишем в виде расширенной матрицы для

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & - 10 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим каждый элемент

$R_{1}$ на

$- \frac{1}{7}$ , чтобы сделать значение в

$1, 1$ равным

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Умножим каждый элемент

$R_{1}$ на

$- \frac{1}{7}$ , чтобы сделать значение в

$1, 1$ равным

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{7} \cdot - 7 & - \frac{1}{7} \cdot 5 & - \frac{1}{7} \cdot 0 & - \frac{1}{7} \cdot 0 \\ 7 & - 5 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & - 10 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.1.2

Упростим

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & - 10 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.2

Выполним операцию над строками

$R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$2, 1$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Выполним операцию над строками

$R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$2, 1$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ 7 - 7 \cdot 1 & - 5 - 7 (- \frac{5}{7}) & 0 - 7 \cdot 0 & 0 - 7 \cdot 0 \\ 1 & 1 & - 10 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.2.2

Упростим

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & - 10 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.3

Выполним операцию над строками

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$3, 1$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Выполним операцию над строками

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$3, 1$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 1 + \frac{5}{7} & - 10 - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.3.2

Упростим

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{12}{7} & - 10 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.4

Заменим

$R_{3}$ на

$R_{2}$ , чтобы поместить ненулевой элемент в

$2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{12}{7} & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.5

Умножим каждый элемент

$R_{2}$ на

$\frac{7}{12}$ , чтобы сделать значение в

$2, 2$ равным

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1

Умножим каждый элемент

$R_{2}$ на

$\frac{7}{12}$ , чтобы сделать значение в

$2, 2$ равным

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ \frac{7}{12} \cdot 0 & \frac{7}{12} \cdot \frac{12}{7} & \frac{7}{12} \cdot - 10 & \frac{7}{12} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.5.2

Упростим

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{35}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.6

Выполним операцию над строками

$R_{1} = R_{1} + \frac{5}{7} R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

$1, 2$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.1

Выполним операцию над строками

$R_{1} = R_{1} + \frac{5}{7} R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

$1, 2$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{5}{7} \cdot 0 & - \frac{5}{7} + \frac{5}{7} \cdot 1 & 0 + \frac{5}{7} (- \frac{35}{6}) & 0 + \frac{5}{7} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - \frac{35}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.6.2

Упростим

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{25}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{35}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x - \frac{25}{6} z = 0$

$y - \frac{35}{6} z = 0$

$0 = 0$

Этап 4.3.4

Запишем вектор решения, найдя решение через свободные переменные в каждой строке.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{25 z}{6} \\ \frac{35 z}{6} \\ z \end{array}]$

Этап 4.3.5

Запишем решение в виде линейной комбинации векторов.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{25}{6} \\ \frac{35}{6} \\ 1 \end{array}]$

Этап 4.3.6

Запишем в виде множества решений.

${z [\begin{array}{c} \frac{25}{6} \\ \frac{35}{6} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Этап 4.3.7

Решение ― это множество векторов, созданных из свободных переменных системы.

${[\begin{array}{c} \frac{25}{6} \\ \frac{35}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Этап 5

Найдем собственный вектор, используя собственное значение

$λ = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим

$2$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Умножим

$2$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.2

Умножим

$2$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.3

Умножим

$2$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.4

Умножим

$2$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.5

Умножим

$2$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.6

Умножим

$2$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.7

Умножим

$2$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.8

Умножим

$2$ на

$0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.9

Умножим

$2$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}]$

Этап 5.2.2

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 3 + 2 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Этап 5.2.3

Упростим каждый элемент.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Добавим

$3$ и

$2$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Этап 5.2.3.2

Добавим

$5$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Этап 5.2.3.3

Добавим

$0$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 + 0 & 5 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Этап 5.2.3.4

Добавим

$7$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 & 5 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Этап 5.2.3.5

Добавим

$5$ и

$2$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 & 7 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Этап 5.2.3.6

Добавим

$0$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 & 7 & 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Этап 5.2.3.7

Добавим

$1$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 & 7 & 0 \\ 1 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Этап 5.2.3.8

Добавим

$1$ и

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 & 7 & 0 \\ 1 & 1 & 0 + 2 \end{array}]$

Этап 5.2.3.9

Добавим

$0$ и

$2$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 & 7 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}]$

Этап 5.3

Найдем нуль-пространство, когда

$λ = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Запишем в виде расширенной матрицы для

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Умножим каждый элемент

$R_{1}$ на

$\frac{1}{5}$ , чтобы сделать значение в

$1, 1$ равным

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Умножим каждый элемент

$R_{1}$ на

$\frac{1}{5}$ , чтобы сделать значение в

$1, 1$ равным

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{5} & \frac{5}{5} & \frac{0}{5} & \frac{0}{5} \\ 7 & 7 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.1.2

Упростим

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.2

Выполним операцию над строками

$R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$2, 1$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Выполним операцию над строками

$R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$2, 1$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 7 - 7 \cdot 1 & 7 - 7 \cdot 1 & 0 - 7 \cdot 0 & 0 - 7 \cdot 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.2.2

Упростим

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.3

Выполним операцию над строками

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$3, 1$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Выполним операцию над строками

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$3, 1$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - 1 & 2 - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.3.2

Упростим

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.4

Заменим

$R_{3}$ на

$R_{2}$ , чтобы поместить ненулевой элемент в

$2, 3$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.5

Умножим каждый элемент

$R_{2}$ на

$\frac{1}{2}$ , чтобы сделать значение в

$2, 3$ равным

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.5.1

Умножим каждый элемент

$R_{2}$ на

$\frac{1}{2}$ , чтобы сделать значение в

$2, 3$ равным

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.5.2

Упростим

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x + y = 0$

$z = 0$

$0 = 0$

Этап 5.3.4

Запишем вектор решения, найдя решение через свободные переменные в каждой строке.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - y \\ y \\ 0 \end{array}]$

Этап 5.3.5

Запишем решение в виде линейной комбинации векторов.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

Этап 5.3.6

Запишем в виде множества решений.

${y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | y \in R}$

Этап 5.3.7

Решение ― это множество векторов, созданных из свободных переменных системы.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

Этап 6

Собственное пространство

$A$ является списком векторных пространств для каждого собственного значения.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{25}{6} \\ \frac{35}{6} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

Введите СВОЮ задачу