Алгебра Примеры

$(2, 3)$ , $(1, 3)$ , $(- 4, 3)$

Этап 1

Существует два общих уравнения гиперболы.

Уравнение горизонтальной гиперболы: $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Уравнение вертикальной гиперболы $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 2

$a$ — расстояние между вершиной $(1, 3)$ и центральной точкой $(2, 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем формулу расстояния для определения расстояние между этими двумя точками.

$Расстояние = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Этап 2.2

Подставим фактические значения точек в формулу расстояния.

$a = \sqrt{{(1 - 2)}^{2} + {(3 - 3)}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем $2$ из $1$ .

$a = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(3 - 3)}^{2}}$

Этап 2.3.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$a = \sqrt{1 + {(3 - 3)}^{2}}$

Этап 2.3.3

Вычтем $3$ из $3$ .

$a = \sqrt{1 + 0^{2}}$

Этап 2.3.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$a = \sqrt{1 + 0}$

Этап 2.3.5

Добавим $1$ и $0$ .

$a = \sqrt{1}$

Этап 2.3.6

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$a = 1$

Этап 3

$c$ — расстояние между фокусом $(- 4, 3)$ и центром $(2, 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем формулу расстояния для определения расстояние между этими двумя точками.

$Расстояние = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Этап 3.2

Подставим фактические значения точек в формулу расстояния.

$c = \sqrt{{((- 4) - 2)}^{2} + {(3 - 3)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем $2$ из $- 4$ .

$c = \sqrt{{(- 6)}^{2} + {(3 - 3)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$c = \sqrt{36 + {(3 - 3)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Вычтем $3$ из $3$ .

$c = \sqrt{36 + 0^{2}}$

Этап 3.3.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$c = \sqrt{36 + 0}$

Этап 3.3.5

Добавим $36$ и $0$ .

$c = \sqrt{36}$

Этап 3.3.6

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$c = \sqrt{6^{2}}$

Этап 3.3.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$c = 6$

Этап 4

Использование уравнения $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ . Подставим $1$ вместо $a$ , а $6$ вместо $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде ${(1)}^{2} + b^{2} = 6^{2}$ .

${(1)}^{2} + b^{2} = 6^{2}$

Этап 4.2

Единица в любой степени равна единице.

$1 + b^{2} = 6^{2}$

Этап 4.3

Возведем $6$ в степень $2$ .

$1 + b^{2} = 36$

Этап 4.4

Перенесем все члены без $b$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$b^{2} = 36 - 1$

Этап 4.4.2

Вычтем $1$ из $36$ .

$b^{2} = 35$

Этап 4.5

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$b = \pm \sqrt{35}$

Этап 4.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$b = \sqrt{35}$

Этап 4.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$b = - \sqrt{35}$

Этап 4.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$b = \sqrt{35}, - \sqrt{35}$

Этап 5

$b$ — это расстояние, т. е. должно быть положительным числом.

$b = \sqrt{35}$

Этап 6

Угловой коэффициент прямой, проходящей через фокус $(- 4, 3)$ и центр $(2, 3)$ определяет, является гипербола вертикальной или горизонтальной. Если угловой коэффициент равен $0$ , график является горизонтальным. Если угловой коэффициент не определен, график является вертикальным.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Угловой коэффициент равен отношению изменения $y$ к изменению $x$ или отношению приращения функции к приращению аргумента.

$m = \frac{изменение по y}{изменение по x}$

Этап 6.2

Изменение в $x$ равно разности координат x (также называется разностью абсцисс), а изменение в $y$ равно разности координат y (также называется разностью ординат).

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Этап 6.3

Подставим значения $x$ и $y$ в уравнение, чтобы найти угловой коэффициент.

$m = \frac{3 - (3)}{2 - (- 4)}$

Этап 6.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$m = \frac{3 - 3}{2 - (- 4)}$

Этап 6.4.1.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$m = \frac{0}{2 - (- 4)}$

Этап 6.4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$m = \frac{0}{2 + 4}$

Этап 6.4.2.2

Добавим $2$ и $4$ .

$m = \frac{0}{6}$

Этап 6.4.3

Разделим $0$ на $6$ .

$m = 0$

Этап 6.5

Общее уравнение горизонтальной гиперболы: $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 7

Подставим значения $h = 2$ , $k = 3$ , $a = 1$ и $b = \sqrt{35}$ в $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ , чтобы получить уравнение гиперболы $\frac{{(x - (2))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (3))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - (2))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (3))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1$

Этап 8

Упростим, чтобы получить окончательное уравнение гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{1^{2}} - \frac{{(y - (3))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1$

Этап 8.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{1} - \frac{{(y - (3))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1$

Этап 8.3

Разделим ${(x - 2)}^{2}$ на $1$ .

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - (3))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1$

Этап 8.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{{\sqrt{35}}^{2}} = 1$

Этап 8.5

Перепишем ${\sqrt{35}}^{2}$ в виде $35$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{35}$ в виде $35^{\frac{1}{2}}$ .

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{{(35^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Этап 8.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{35^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Этап 8.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{35^{\frac{2}{2}}} = 1$

Этап 8.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.4.1

Сократим общий множитель.

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{35^{\frac{2}{2}}} = 1$

Этап 8.5.4.2

Перепишем это выражение.

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{35} = 1$

Этап 8.5.5

Найдем экспоненту.

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{35} = 1$

Этап 9

Введите СВОЮ задачу